线性变换和相似等价类的对应关系.doc

线性变换和相似等价类的对应关系 设有两个非空集合V,U，若对于V中任一元素α，按照一定规则总有U中一个确定的元素β和它对应，则这个对应规则被称为从集合V到集合U的变换（或映射），记作β=T(α)或β=Tα,( α∈V)。 设α∈V，T(α)= β,则说变换T把元素α变为β，β称为α在变换T下的象，α称为β在变换T下的源，V称为变换T的源集，象的全体所构成的集合称为象集，记作T(V)。即 T(V)={ β=T(α)|α∈V}, 显然T(V) ?U 注：变换的概念实际上是函数概念的推广。 定义2 设Vn,Um分别是实数域R上的n维和m维线性空间，T是一个从Vn到Um得变换，如果变换满足 任给α1 ，α2∈Vn，有T(α1+α2)=T(α1)+T(α2); 任给α∈Vn，k∈R，都有 T(kα)=kT(α)。 那么，就称T为从Vn到Um的线性变换。 说明： 线性变换就是保持线性组合的对应的变换。 一般用黑体大写字母T,A,B,…代表现象变换，T(α)或Tα代表元 α在变换下的象。 若Um=Vn，则T是一个从线性空间Vn到其自身的线性变换，称为线性空 Vn中的线性变换。下面主要讨论线性空间Vn中的线性变换。 二、线性变换的性质 设T是Vn中的线性变换，则 T(0)=0,T(-α)=-T(α); 若β=k1α1+k2α2+…+kmαm,则Tβ=k1Tα1+k2Tα2+…+kmTαm; 若α1，…αm线性相关，则Tα1…Tαm亦线性相关； 注：讨论对线性无关的情形不一定成立。 线性变换T的象集T(Vn)是一个线性空间Vn的子空间。 记ST={α|α∈Vn,T α=0}称为线性变换T的核，ST是Vn的子空间。 设V和W是数域F上的向量空间，而σ：V→W是一个线性映射。那么 σ是满射Im(σ)=W; (ii)σ是单射Ker(σ)={0} 定理1 设V和W是数域F上的向量空间，而σ：V→W是一个线性映射。那么V的任意子空间在σ之下的像是W的一个子空间。而W的任意子空间在σ之下的原像是V的一个子空间。 三、线性变换的运算 设L(V)是向量空间V的全体线性变换的集合，定义L(V)中的加法，数乘与乘法如下： 加法： 数乘： ； 乘法： ， 其中， . 易验证，当A, B是V的线性变换时，A+B，AB以及kA都是V的线性变换. 四、线性变换的矩阵 设是数域F上的一个维向量空间,是的一个基,.由于因而它们可由基线性表出.令 (1) ………………… . 也可以表示为： , (2) 其中 … … A= …………………… … 称为关于基的矩阵.的第列元为在基下的坐标,因而当取定基之后,在这一基下的矩阵是唯一的. 设V是数域F上一个n维向量空间.令是V的一个线性变换.取定一个基 ,,(,.考虑V中任意一个向量 ((((仍是V的一个向量.设((((( 自然要问,如何((((计算的坐标. 令 (2) ……………………………… 这里,i,j=1,…,n,就是关于基的坐标 .令 … … A= …………………… … n阶矩阵 A叫做线性变换关于基的矩阵.矩阵A的第j列元素就是这样,取定F上n维向量空间V的一个基之后,对于V的每一个线性变换,有唯一确定的 F上n阶矩阵与它对应. 为了计算关于基的坐标,我们把等式(2)写成矩阵形式的等式 (3) =. 设 = 因为是线性变换,所以 (4) = 将(3)代入(4)得 A 最后等式表明,关于的