高数第二章 导数与微分 课件.ppt

第二章 导数与微分§2-1 导数概念 一、引例 (一)直线运动的速度 (二)切线问题 1、切线意义 设有曲线 上一点M,在点M外另取 作割线 ,当点N沿曲线C趋 于点M时,如果割线 绕点M旋转而趋 于极限位置MT,直线MT就称为曲线C在点M处的切线。 2、切线斜率的求法 设 是曲线 C上的一个点, 则 就是曲线C 在 点处切线的斜率。 二、导数的定义 (一)函数在一点处的导数 1、定义：设函数 的某个 邻域内有定义,当自变量 处取得 增量 （点 仍在该邻域内） 时 , 相应地函数 取得增量 ， 如果 之比当 时的极限存 在，则称函数 处可导， 并称这个极限为 处的导数。 记作 、 即 函数 处可导，也说成 具有导数或导数存在。 如果 不存在，就说函数 处不可导。 如果不可导的原因是 也往往说函数 处的导 数为无穷大。 2、求导的不同形式 或 (当 时, ) 例1．设 求 例2．已知 存在，求 3、导数的意义 函数 处的导数 是因变量 处的变化率,它反 映了 处因变量随自变量的变 化而变化的快慢程度。 （二）导函数 1、定义：如果函数 在开区间 内的每点处都可导，就称函数 在开区间 内可导，此时对 于任一 ,都对应着 的一个 确定的导数值，这样就构成了一个新 的函数，这个函数叫做原来函数 的导数，记作 2、导函数的求法 注：在求极限过程中 是常量。 例3．求函数 的导数。 例4．求函数 在 处的导数。 例5．求 的导数。 例6．求函数 的导数。 例7．求函数 的导数。 3、导函数 在点 处的 导数 的关系 (1)函数在某点处的导数是导函数在 该点处的函数值,即 . (2) 是一个常数, 是一个函 数,两者均与 无关。 例8．求函数 处的导数。 例9．函数 对任意 均满足 且有 ，其中 为非零常数，则 （ ） （A） 处不可导 （B） 处可导且 （C） 处可导，且 （D） 处可导且 （三）单侧导数 1、定义：若极限 存在，则称这两个 极限分别为函数 的左导数 和右导数，记作 即 左导数和右导数统称为单侧导数。 2、导数、左导数、右导数三者之间 的关系 函数