数学思想、方法其应用.docVIP

题 目：论数形结合方法的应用 院 系：数学与统计学学学院 指导教师：李书刚老师 班 级：13级数学与应用数学6班 姓 名：唐志金 学 号：2013212664 完成时间：2014-6-26 【摘要】：数学思想方法作为数学知识内容的精髓,是数学的一种指导思想和普遍适用的方法,是铭记在人们头脑中起永恒作用的精神和观点。它能使人们领悟数学的真谛,懂得数学价值,学会数学地思考和解决问题。它能把知识的学习、能力的培养和智力的发展有机地结合起来。因此数学思想方法作为数学教育的重要内容,已日益引起人们的注意。 加强数学思想方法教学,能使学生从盲目的学习转化为有意义的学习,从题海中解脱出来,真正做到举一反三,触类旁通,大大缩短了学生在黑暗中摸索的过程,真正提高学生的学习效益,做到“高分高能”。数学是研究空间形式和数量关系的科学,因此数形结合思想是重要的数学思想方法之一,从数的概念的形成和发展,到微积分的产生及现代数学各分支学科的形成,都是与数形的完美结合分不开的。“数”与“形”也是贯穿整个中学数学教材的两条主线,“数”与“形”的相互转化、结合更是解题的重要方法。从更高的理论层次总结数形结合思想的形成与发展,探索高中数学教学中如何完整地进行数形结合思想方法的教学,而不仅仅局限在数形结合的解题功能上。试图给予数形结合思想方法一个较为完整的诠释,并给其它数学思想的研究提供一个范例。本文主要从以下几个方面进行阐述:(1)数形结合思想方法概述,简要介绍数形结合思想的历史演进;(2)数形结合思想方法在中学数学教学中的地位(3)分析数形结合思想方法教学对学生的培养功能;(4)探索渗透数形结合思想方法的教学途径,并给出一些教学实例;(5)分析数学语言与数形结合思想的学习和掌握的关系,在数形结合思想方法的教学过程中如何注意数学语言的教学。(6)反思数形结合思想方法应用时要注意的几个问题。数形结合；数形结合思想；以形助数；相互转化 （三）不等式（组）、函数用象表示： 在函数中，函数的解析式和图像的实质是相同的。同样，不等式也可以用图象表示，函数图象是用曲线的，那么，不等式就用所对应的区域来表示，该区域就在该不等式化为方程后所表示的曲线的领域内。 （四）曲线方程与曲线方程图象： 曲线方程是中学数学中的重要组成部分，它包括圆的曲线方程、椭圆的曲线方程、双曲线方程，抛物线方程等曲线方程，数形结思想合在这一方面体现的更为重要，整个曲线方程几乎都是围绕数形结合思想来分析、解决问题。 （六）复数用图象表示其几何意义 借助复平面上的两点间的距离公式和直线、圆、圆锥曲线等，再利用复数的意义求解问题，比单纯利用代数计算优越的多。 （七 ）向量问题用图象解析 利用向量可以解决线段相等，直线垂直，立体几何中空间角（异面直线的角、线面角、二面角）和空间距离（点线距、线线距、线面距、面面距），利用空间向量解决立体几何问题，将抽象的逻辑论证转化为代数计算，以数助形，大大降低了空间想象能力，是数形结合的深化。 （八）几何问题用代数方法解决 三、数形结合·实际举例 例1：如果实数x，y满足等式（x-2）2+y2=3，求y/x的最大值 解析：本题作为代数问题的形式，y/x的最大值不易直接求出，若采用数形结合思想，利用y/x的几何意义则较为简便，如图2-10所示，在直角坐标系中，（x-2）2+y2=3表示以（2,0）为圆心，31/2为半径的圆，y/x=（y-0）/(x-0)表示圆上任意一点P（x,y）与原点连线斜率，当OP与圆相切，角POQ=60‘时，y/x取得最大值31/2。 例题2：在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2上异于坐标原点O的两个不同动点A,B满足AO⊥B0，如图所示： 求(1)△AOB的重心G（即三角形三条中线的交点）的轨迹方程； (2)△AOB的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由。 解析：（1）设△AOB的重心G为（x，y），A（x1，y1），B（x2，y2）， 则： x=(x1+x2)/3 ① y=(y1+y2)/3 ∵OA⊥OB ∴KOAKOB=1, 即x1x2+y1y2=0， ② 又点A,B在抛物线上，有y1=x12，y2=x22，代人②化简得x1x2=-1， ∴y=（y1+y2）/3=1/3(x12+x22)=1/3[(x1+x2)2-2x1x2]=1/3*(3x)2+2/3 =3x2+2/3 所以，重心G的轨迹方程为：y=3x2+2/3 (2) S△AOB =1/2│OA│