时域离散信号和系统频域分析.ppt

主要内容 Z变换 逆Z变换 Z域分析 序列的付里叶变换 系统函数 Z变换小结 (1) Z 变换收敛域的特点： 收敛域是一个圆环，有时可向内收缩到原点，有时可向外扩展到∞，只有x(n)=δ(n)的收敛域是整个 z 平面。 (2) Z 变换表示法： 级数形式 解析表达式（注意:只表示收敛域上的函数，要同时注明收敛域）。 (3) 几种情况： a) 有限长序列，其双边变换收敛域在整个平面（可能除了0和/或∞点）收敛。 b) 因果序列Z变换的收敛域为|z||a|的圆外区域，|z|=|a|称为收敛圆。 c) 非因果序列Z变换的收敛域为|z||b|的圆内区域，|z|=|b|称为收敛圆。 (1)当单位圆上的 ejω 点在极点 d j附近时，分母向量最短，出现极小值，频响在这附近可能出现峰值，且极点 dj 越靠近单位圆，极小值越小，频响出现的峰值越尖锐，当 dj 处在单位圆上时，极小值为零，相应的频响将出现∞，这相当于在该频率处出现无耗谐振，当极点超出单位圆时系统就处于不稳定状态。对于现实系统，这是不希望的。 (2)对于零点位置，频响将正好相反，ejω点越接近某零点 ci ，频响越低，因此在零点附近，频响出现谷点，零点越接近单位圆，谷点越接近零，零点处于单位圆上时，谷点为零，即在零点所在频率上出现传输零点，零点可以位于单位圆以外，不受稳定性约束。 这种几何方法为我们认识零、极点分布对系统性能的影响提供了一个直观的概念，这一概念对系统的分析和设计都十分重要。 例 Im[z] 4、序列的付里叶变换(FT或DTFT) 连续系统的付里叶变换： 离散系统的付里叶变换： 值得指出： （1）由于 ，所以 是以2π为周期的周期函数。因此,积分区间可以是 （0 2π） 或任意一个 2π 周期。 （2）FT 正是周期函数 的付氏级数展开，而x(n)是付氏级数的系数。这一概念在以后滤波器设计中有用。 存在条件： x(n)绝对可和，则该级数绝对收敛。 FT性质： 1）线性 令x1(k) ←→X1(ejw),x2(k) ←→X2(ejw) x(k)=ax1(k)+bx2(k) 则 X(ejw)=aX1(ejw)+bX2(ejw) 2）时移 3）时域卷积 FT与Z变换的关系 对比上两式，得： 其中z=ejw表示z平面上r=1的圆，称为单位圆，上述关系表明单位圆上的z变换就是序列的FT变换，显然，FT仅是Z变换的特例。若已知序列的Z变换，可用上述关系式方便地求出FT变换，条件是收敛域中包含单位圆。 注意：序列的FT不存在，但在一定的ROC内Z变换是存在的。 5、系统函数 ? 1）定义 前面讨论过用单位脉冲响应h(n)来表示一个线性时不变离散系统： y（n）=x（n）*h（n） 两边取z变换 Y(z)=X(z)H(z) 则： 定义为系统函数。 （1）它是单位脉冲响应的z变换。所以可以用单位脉冲响应的z变换来描述线性时不变离散系统。 （2）单位圆上的系统函数就是系统的频率响应 可以证明，它是单位脉冲响应h(n)的FT（DTFT）。 进一步，可以将系统函数表示成如下形式： 可以看出分子B(z)、分母A(z)都是z的有理式形式，因而能求出多项式等于0的根，其中分子B(z)=0的根称为系统函数的零点，分母A(z)=0的根称为系统函数的极点。于是上式也可以写成如下形式： 整个系统函数可以由它的全部零、极点来唯一确定。 用极点和零点表示系统函数的优点是，它提供了一种有效的求系统频率响应的几何方法。 系统频率响应 在z平面上,ejω-ci可用一根由零点ci指向单位圆上ejω点的向量 来表示，而ejω-dj可用极点dj指向ejω的向量 表示 于是 分析上式表明，频响的模函数由从各零、极点指向ejω点的向量幅度来确定，而频响的相位函数则由这些向量的幅角来确定，当频率ω由0~2π时，这些向量的终点沿单位圆反时针方向旋转一圈，由此可估算出整个系统的频响。 令： 基本原理： (2) 同样，利用终值定理可求得 显然，这个结果也是不正确的，因为 X ( z ) 的逆变换为 ，这是一个以2为周期的周期序列，其终值不收敛。出现这种错误的原因同前例一样，是因为 X ( z ) 的极点在单位园的 z = -1上，收敛域不包括单位园。 上面的两个例子说明，即使 在 时的极限收敛