概率论数理统计复习.docVIP

概率论与数理统计复习????????? ? 第一章? 概率论的基本概念 一.基本概念 随机试验E:(1)可以在相同的条件下重复地进行;(2)每次试验的可能结果不止一个,并且能事先明确试验的所有可能结果;(3)进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现. 样本空间S: E的所有可能结果组成的集合.? 样本点(基本事件):E的每个结果. 随机事件(事件):样本空间S的子集. 必然事件(S):每次试验中一定发生的事件. 不可能事件(F):每次试验中一定不会发生的事件. 二. 事件间的关系和运算 1.AB(事件B包含事件A )事件A发生必然导致事件B发生. 2.AB(和事件)事件A与B至少有一个发生. 3. AB=AB(积事件)事件A与B同时发生. 4. A-B(差事件)事件A发生而B不发生. 5. AB=F (A与B互不相容或互斥)事件A与B不能同时发生. 6. AB=F且AB=S (A与B互为逆事件或对立事件)表示一次试验中A与B必有一个且仅有一个发生.? B=A,? A=B . 运算规则? 交换律 结合律 分配律? 德?摩根律 ?? 三. 概率的定义与性质 1.定义? 对于E的每一事件A赋予一个实数,记为P(A),称为事件A的概率. (1)非负性 P(A)≥0 ;? (2)归一性或规范性? P(S)=1 ; (3)可列可加性? 对于两两互不相容的事件A1,A2,…(A iAj=φ, i≠j, i,j=1,2,…), ??????????????? P(A1A2∪…)=P( A1)+P(A2)+… 2.性质 (1) P(F) = 0 ,?? 注意: A为不可能事件??????? P(A)=0 . ???? ??????????????????????????????? (2)有限可加性??? 对于n个两两互不相容 ? 的事件A1,A2,…,A n , P(A1A2∪…∪A n)=P(A1)+P(A2)+…+P(A n)? (有限可加性与可列可加性合称加法定理) (3)若AB, 则P(A)≤P(B), P(B-A)=P(B)-P(A) . (4)对于任一事件A, P(A)≤1, ?P(A)=1-P(A) . (5)广义加法定理? 对于任意二事件A,B ,P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB) . 对于任意n个事件A1,A2,…,A n ? …+(-1)n-1P(A1A2…A n) 四.等可能(古典)概型 1.定义 如果试验E满足:(1)样本空间的元素只有有限个,即S={e1,e2,…,e n};(2)每一个基本事件的概率相等,即P(e1)=P(e2)=…= P(e n ).则称试验E所对应的概率模型为等可能(古典)概型. 2.计算公式 P(A)=k / n 其中k是A中包含的基本事件数, n是S中包含的基本事件总数. 五.条件概率 1.定义? 事件A发生的条件下事件B发生的条件概率P(B|A)=P(AB) / P(A)? ( P(A)0). 2.乘法定理? P(AB)=P(A) P (B|A)? (P(A)0);? P(AB)=P(B) P (A|B)? (P(B)0). ??? P(A1A2…A n)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)…P(A n|A1A2…A n-1)? (n≥2, P(A1A2…A n-1) 0) 3. B1,B2,…,B n是样本空间S的一个划分(BiBj=φ,i≠j,i,j=1,2,…,n, B1B2∪…∪B n=S) ,则 当P(B i)0时,有全概率公式 P(A)= 当P(A)0, P(B i)0时,有贝叶斯公式P (Bi|A)=?. 六.事件的独立性?? 1.两个事件A,B,满足P(AB) = P(A) P(B)时,称A,B为相互独立的事件. (1)两个事件A,B相互独立? P(B)= P (B|A) . (2)若A与B,A与,与B, ,与中有一对相互独立,则另外三对也相互独立. 2.三个事件A,B,C满足P(AB) =P(A) P(B), P(AC)= P(A) P(C), P(BC)= P(B) P(C),称A,B,C三事件两两相互独立.? 若再满足P(ABC) =P(A) P(B) P(C),则称A,B,C三事件相互独立. 3.n个事件A1,A2,…,A n,如果对任意k (1k≤n),任意1≤i1i2…i k≤n.有 ,则称这n个事件A1,A2,…,A n相互独立. 第二章? 随机变量及其概率分布 一.随机变量及其分布函数 1.在随机试验E的样本空间S={e}上定义的单值实值函数X=X (e)称为随机变量. 2.随机变量X的分布函数F(x)=P{X≤x} , x是任意实数.? 其性质为: (1)0≤F(x)≤1 ,F(-∞)=0,F(∞)=1.??? (2)F(x)单调不