没有极限概念,如何理解导数几何意义(中学数学研究分析).docVIP

没有极限概念，如何理解导数的几何意义 安徽省阜阳市第三中学 董海涛 236006 导数是微积分的核心内容之一，由于它是研究现代科学技术必不可少的工具，也是研究函数性质的有效方法，同时它也是高等数学的内容，所以在历次教材改革中，变动既频繁又较大，既体现了编者对它割舍不下的情怀又充满了不知如何安排的迷茫。本文就北师大版《普通高中课程标准实验教科书数学选修2-2》（以下简称“新课程教材”）中对这部分内容的安排，提出教学中的困惑，并结合实践，提出对策，供大家参考。 1新课程教材安排 与原人教版《全日制普通高级中学教科书数学选修II》（以下简称旧课程教材）相比，新课程教材在教学内容、教学要求上都有很大变化，其中与本文讨论有关的是导数概念的引入，不讲极限概念，而是注重通过实际背景创设丰富的情境，不惜篇幅引导学生经历由平均变化率到瞬时变化率的过程，从本质上认识和理解导数概念，在给出导数定义后，又给出了三个具体例子，加深对导数的实际意义的认识，这些都是旧课程教材所没有呈现的。 教材的具体安排是：§1 《变化的快慢与变化率》，用了两个实例分析和两个例题，帮助学生实现“平均变化率”到“瞬时变化率”的质的飞跃，为导数概念的引入做好了扎实的铺垫。§2《导数的概念及其几何意义》，由于有了上一节大量生动的背景实例，至此，抽象出导数定义已是水到渠成。实际教学中，学生对“……在数学中，称瞬时变化率即为函数y=f(x)在x0点的导数”是欣然接受的，相对于旧课程教材，导数定义的给出无疑是成功的，但我们的困惑是： 2没有极限的概念，如何理解导数的几何意义 新课程教材在§2中，专门安排了§2.2《导数的几何意义》，教材在描述性地给出了“曲线的切线”定义后，紧接着就是“该切线的斜率就是函数y=f(x)在x0处的导数”。学生的困惑是：不是函数y=f(x)在点x0处的瞬时变化率吗？它反映的不是割线AB在点x0处的变化快慢吗？它怎么又是y=f(x)在点x0处的切线斜率了呢？我们困惑的是：（1）本想弱化形式化的定义，降低学生理解导数的难度，但教材在导数定义后，又“通常用符号表示，记作”，这里还是出现了形式化的定义了。（2）极限定义能回避得了吗？导数定义中无法回避，这是不争的事实，新课程教材在§3《计算导数》中，不仅出现了极限的符号，而且出现了极限的运算，与其在这里让老师费尽口舌给一头雾水的学生解释半天（事实上学生仍无法理解），既偏离了主题又没有效果，不如干脆增加一节“极限的定义”。 3我们的对策 我省是2006年秋季进入新课改的，首轮教学中我们循规蹈矩地按教材进行的教学，结果学生只能是生吞活剥地记下结论，由于不理解导数的几何意义，在实际应用中，只能是照搬模仿，根本谈不上灵活二字。在2007年开始的二轮教学中，我们对新教程教材作了大胆的尝试，收到了理想的效果，具体地在两处做了调整。 3．1增加一节极限的定义 在选修2-2§2《变化率与导数》的§1《变化的快慢与变化率》之前，增加一节，课题是《极限的定义》，课时为一节课，主要介绍极限符号的引入和使用，初步渗透极限思想，具体内容是： 首先，通过列举实例，给出“数列极限”的描述性定义：一般地，设{an}是一个无穷数列，如果当n趋向于无穷大时，an无限地趋向于一个常数a，则称a是数列{an}的极限。然后给出形式化的符号表示：即“当”记作“” 然后，将数列极限的初步认识正迁移到“函数极限”，仍然通过实例列举，只介绍“当时，函数f(x)的极限”，并给出形式化的符号表示：“当时，f(x)→a，记作”，以实现数列极限的顺应和同化。这里不介绍“当时，函数f(x)的极限”，也不介绍“函数的左、右极限”，以免增加学生理解上的困难，更主要的是避免冲淡主题——我们这里只是介绍极限的形式化表示和极限思想，并不涉及极限的完整定义。实事上，在旧课程教材选修II中，学生对“时，函数f(x)的极限”的理解要比“函数的左、右极限”容易的多。 最后，为了加深对极限符合的认识，我们设计了一组练习： 1、请用语言描述下列极限符号的含义（有的教师根据班级学生情况，要求学生探究符合要求的数列{an}或函数f(x)的解析式）： 2、选择题：正三棱锥S-ABC的相邻两个侧面所成的二面角为α，则α的取值范围是（ ） A、（0，） B、 C、 D、 3．2调整一段叙述 有了极限的符号表示，在§1节例1和例2中，均可以用极限符号表示“小球在t=5s时刻的瞬时速度”和“合金棒在x=2处的线密度”了，而且将§2.2《导数的几何意义》的叙述调整为： 函数y=f(x)在区间[x0,x0+△x]的平均变化率为，如图2-3所示，它是过A（x0,f(x0)）和B(x0+△x，f(x0+△x))两点的直线的斜率，直线AB称为曲线y=f(x)在A处的一条割线。 如图