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特殊随机变量起源及应用 摘要 本文论述了几类特殊随机变量的起源、定义、及部分应用。详细介绍了离散型的二项分布和泊松分布，连续型的正态分布，讨论了其在系统有效性问题、能量供应问题、成绩评价等方面的应用，并详细探讨了二项分布的泊松逼近和正态逼近，论述了棣莫弗?拉普拉斯极限定理，列举了该定理在实际中的应用。 正文 一、随机变量定义 进行试验时，相对于试验的实际结果而言，通常我们更感兴趣的是有关试验结果的某些函数。比如，在掷两枚骰子的游戏中，我们通常更关心两枚骰子的点数之和，而不是各枚骰子的具体值；同样，在掷若干枚硬币时，我们或许关心正面朝上的总数，而不关心实际结果有关正面朝上或反面朝上的排列情况。这些感兴趣的量是试验结果的实值函数，我们称之为随机变量。 定义1.1 称定义在样本空间上试验结果的实值函数ξ（ω）为一个随机变量。 定义1.2 称一元函数：F（x）=P（ξ（ω）x）（对任意实数x）为随机变量ξ（ω）的分布函数。 二、离散型随机变量 若一个随机变量最多有可列个可能取值，则称这个随机变量为离散型的。 2．1 伯努利分布和二项分布 瑞士数学家雅克·伯努利（Jacques Bernoulli,1654～1705）首次研究独立重复试验（每次成功率为p）。在他去世后的第8年（1713年），他侄子尼克拉斯出版了伯努利的著作《推测术》。在书中，伯努利指出了如果这样的试验次数足够大，那么成功次数所占的比例以概率1接近p。 雅克·伯努利是这个最著名的数学家庭的第一代。在后来的三代里，一共有8到12个伯努利，在概率论、统计学和数学上做出了杰出的基础性贡献。 2．1．1 伯努利分布和二项分布的定义 在一次试验中，事件A出现的概率为p，不出现的概率为q=1-p。若以β记事件A出现的次数，则β仅取0，1两值，相应的概率分布为： P{β=k}=,k=0,1 这个分布称为伯努利分布，亦称两点分布。随机变量β称为伯努利随机变量。 现在进行n次独立重复试验，以μ记事件A出现的次数，则μ称为参数为（n,p）的二项随机变量。其对应的概率由二项分布给出： b(k;n,p)=P{μ=k}=,k=0,1,2,?,n 记作μ～Ｂ（n,p）。 伯努利分布可以看作n=1的二项分布。 2.1.2 二项分布的性质 二项分布具有以下性质： （1）若ξ～Ｂ（n,p),则Eξ=np,Varξ=npq. （2)若ξ～Ｂ（n,p),则当k从0到n时，p{ξ=k}开始单调递增，然后单调递减，它在k=[（n+1）p]时取最大值。 2.2 泊松分布 泊松分布是法国数学家S.D.泊松在他所著的关于概率论在诉讼、刑事审讯等方面应用的书中提出的，这本书于1837年出版。 近数十年来，泊松分布日益显示其重要性，成了概率论中最重要的几个分布之一。 首先已经发现许多随机现象服从泊松分布。这种情况特别集中在两个领域中。一是社会生活，对服务的各种要求，诸如电话交换台中来到的呼叫次数，公共汽车站来到的乘客数等等都近似的服从泊松分布，因此在运筹学及管理科学中泊松分布占有重要地位；另一领域是物理科学，放射性分裂落到某区域的质点数，热电子的发射，显微镜下落在某区域中的血球或微生物的数目等等都服从泊松分布。 2．2．1 泊松分布的定义 一个取值为0，1，2…之一的随机变量ξ称为服从参数为λ的泊松随机变量，如果对某一λ0，有 P{ξ=k}=,k=0,1,2,? 简记作ξ~P（λ）. 2．2．2 泊松分布的性质 泊松分布具有以下性质： 泊松随机变量的期望和方差都等于其参数λ。 当n足够大，p充分小，而使得np保持适当的大小时，以（n,p）为参数的二项分布可以近似看作参数为λ的泊松分布，这个λ值通常凭经验确定。 2．3 应用的例子 例1系统有效性问题 一个通讯系统由n个元件组成，各个元件是否工作正常是相互独立的，并且各个元件正常工作的概率为p。若在系统中，至少有一半的元件工作正常，那么整个系统有效。我们讨论的是当p为何值时2k+1个元件的系统比2k-1个元件的系统更有效。 正常工作的元件数是一个服从参数为（n,p）的二项分布的随机变量。 首先考虑5个元件的系统何时比3个元件的系统更有效。5个元件的系统有有效的概率为 而3个元件的系统有效的概率为 因此，以下条件成立时，5个元件的系统比3个元件的系统更有效： 化简为 即 考虑2k+1元件的系统，令X表示“前2k-1个元件中工作正常的元件数目”，那么 上式之所以成立是基于事件“2k+1个元件的系统有效”可以写成下列三个互不相容的事件的并： （ⅰ）X≥k+1; （ⅱ)X=k而且剩下的2个元件中至少有一个工作正常； （ⅲ)X=k-1而且剩下的2个元件都工作正常。 由于 可得 例2能量供应问题 假定有n=10个工人间歇性的使用电力，我们的目的