算法合集之《生成树计数其应用》.ppt

生成树的计数及其应用 芜湖一中 周冬 引入 最小（大）生成树 最小（大）度限制生成树 最优比率生成树 …… [例一]高速公路 一个国家需要在n座城市之间建立通信网络。 某些城市之间可以铺设通信线路。 要求任意两座城市之间恰好有一条通讯路线，试求方案个数。 满足：1≤n ≤12。 分析 首先将问题抽象成图论模型 点：城市 边：通讯线路 任意两点之间恰好只有一条路径 这是一颗树！ 问题转化为：给定一个n个点的无向图，其中无重边和自环，试求其生成树的个数。 分析 由于原题规模较小，因此我们可以使用一些复杂度较高的算法来解决它，如指数级的动态规划算法。 但是，如果规模更 一些呢？ 预备知识 关联矩阵、Kirchhoff矩阵 图的关联矩阵 对于无向图G，我们定义它的关联矩阵B是一个n*m的矩阵，并且满足： 如果ek=(vi，vj)，那么Bik和Bjk一个为1，另一个为-1，而第k列的其他元素均为0。 图G的关联矩阵如右下角所示： 图的关联矩阵 图的关联矩阵有什么特殊的性质呢？我们不妨来考察一下B和它的转置矩阵BT的乘积。 图的关联矩阵 根据矩阵乘法的定义，我们可以得到： 也就是说，BBTij是B第i行和第j行的内积。 因此，当i=j时， BBTij=vi的度数；而当i≠j时，如果存在边(vi，vj)，那么BBTij=-1，否则BBTij=0。 我们通常将BBT称为图的Kirchhoff矩阵。 图的Kirchhoff矩阵 对于无向图G，它的Kirchhoff矩阵C定义为它的度数矩阵D减去它的邻接矩阵A。显然，这样的定义满足刚才描述的性质。 有了Kirchhoff矩阵这个工具，我们可以引入Matrix-Tree定理： 对于一个无向图G，它的生成树个数等于其Kirchhoff矩阵任何一个n-1阶主子式的行列式的绝对值。 所谓n-1阶主子式，就是对于任意一个r，将C的第r行和第r列同时删去后的新矩阵，用Cr表示。 Matrix-Tree定理 让我们通过一个例子来解释一下定理。如图所示，G是一个由5个点组成的无向图。 它的Kirchhoff矩阵C为 Matrix-Tree定理 我们取r=2，根据行列式的定义易知|detC2 | =11，这11颗生成树如下图所示。 定理的证明 经过分析，我们可以发现图的Kirchhoff矩阵C具有一些有趣的性质： C的行列式总是0。 如果图是不连通的，则C的任一个n-1阶主子式的行列式均为0。 如果图是一颗树，那么C的任一个n-1阶主子式的行列式均为1。 证明略。 定理的证明 我们知道，C=BBT，因此，我们可以把C的问题转化到BBT上来。 设Br为B去掉第r行得到的矩阵，容易知道Cr =Br Br T。这时，根据Binet-Cauchy公式，我们可以将Cr的行列式展开。 其中， 是把Br中属于x的列抽出后形成的新矩阵。 定理的证明 注意观察上面的式子， 实际上是图Gx的Kirchhoff矩阵的一个n-1主子式。其中Gx是由所有的顶点和属于x的边组成的一个G的子图。 定理的理解 当x取遍边集所有大小为n-1的子集后，我们就可以得到原图生成树的个数。这样我们成功证明了定理！ 刚才的证明过程看起来有些“深奥”，下面就让我们从直观上来理解一下这个定理的原理。 定理的理解 试求方程 x1 +x2 + x3 =2 所有非负整数解的个数。 这是大家都很熟悉的一道组合计数问题。 通常的解法是，设有2个1和两个△，我们将这4个元素任意排列，那么不同的排列的个数就等于原方程解的个数，即 。 为什么要这样做呢？ 定理的理解 我们将所有6种排列列出后发现，一种排列就对应了原方程的一个解： △ △ 11对应x1=0，x2=0，x3=2 △ 1 △ 1对应x1=0，x2=1，x3=1 △ 11 △对应x1=0，x2=2，x3=0 …… 也就是说，我们通过模型的转化，找出了原问题和新问题之间的对应关系，并利用有关的数学知识解决了转化后的新问题，也就同时解决了原问题。 这种转化的重要意义在于：在不同问题之间的架起了互相联系的桥梁。 定理的理解 回到我们讨论的Matrix-Tree定理上来。 我们同样是经过模型的转化后（将图模型转化为矩阵模型），发现Binet-Cauchy公式展开式中的每一项对应着边集一个大小为n-1的子集。其中，值为1的项对应一颗生成树，而没有对应生成树的项值为0。这样，将问题转化为求展开式中所有项之和。再利用已有的数学知识，就可以成功解决这个问题。 两个问题的对比 定理的扩展 利用该定理，我们可以容易得到著名的Cayley公式：完全图Kn有nn-2颗生成树。 我们刚才只对图中没有重边的情况进行了分析。实际上，图中有重边时该定理仍然