第3章(弹力)平面问题的直角坐标解答祥解.ppt

本章内容小结 重点：掌握弹性力学问题按应力求解的方法，并应用于工程实例； 本章操作技巧 逆解法假设应力函数——N次多项式 (1)满足相容方程； (2)满足应力边界条件（圣维南原理）； (3)多联体位移单值条件。 x y l l ql ql 1 y z h/2 h/2 q 方程的特点： 关于 x 的二次方程，且要求 －l≤ x ≤ l 内方程均成立。 由“高等代数”理论，须有x 的一、二次的系数、自由项同时为零。即： 对前两个方程积分： (c) 此处略去了f1(y)中的常数项 对第三个方程得： 积分得： (d) (c) (d) x y l l ql ql 1 y z h/2 h/2 q (a) (b) 将(c) (d) 代入 (b) ，有 (e) 此处略去了f2(y)中的一次项和常数项 式中含有9个待定常数。 (e) 2. 应力分量的确定 (f) (g) (h) 3. 对称条件与边界条件的应用 (f) (g) (h) 3. 对称条件与边界条件的应用 （1）对称条件的应用： x y l l ql ql 1 y z h/2 h/2 q 由 q 对称、几何对称： —— x 的偶函数 —— x 的奇函数 由此得： 要使上式对任意的 y 成立，须有： x y l l ql ql 1 y z h/2 h/2 q （2）边界条件的应用： (a) 上下边界（主要边界）： 由此解得： 代入应力公式 x y l l ql ql 1 y z h/2 h/2 q ( i ) ( j ) ( k ) (b) 左右边界（次要边界）： （由于对称，只考虑右边界即可。） —— 难以满足，需借助于圣维南原理。 静力等效条件： 轴力 N = 0； 弯矩 M = 0； 剪力 Q = －ql； ( i ) ( j ) ( k ) 可见，这一条件自动满足。 x y l l ql ql 1 y z h/2 h/2 q (p) 截面上的应力分布： 三次抛物线 4. 与材料力学结果比较 x y l l ql ql 1 y z h/2 h/2 q (p) 4. 与材料力学结果比较 材力中几个参数： 截面宽：b=1 , 截面惯矩： 静矩： 弯矩： 剪力： 将其代入式 ( p ) ，有 （3-6） x y l l ql ql 1 y z h/2 h/2 q （3-6） 比较，得： （1） 第一项与材力结果相同，为主要项。 第二项为修正项。当 h / l1，该项误差很小，可略；当 h / l较大时，须修正。 （2） 为梁各层纤维间的挤压应力，材力中不考虑。 （3） 与材力中相同。 注意： 按式（3-6），梁的左右边界存在水平面力： 说明式（3-6）在两端不适用。 解题步骤小结： （1） （2） （3） 根据问题的条件：几何特点、受力特点、约束特点（面力分布规律、对称性等），估计某个应力分量（ ）的变化形式。 由 与应力函数 的关系式（2-26），求得应力函数 的具体形式（具有待定函数）。 （4） （5） 将具有待定函数的应力函数 代入相容方程： 确定 中的待定函数形式。 由 与应力函数 的关系式（2-26），求得应力分量 。 由边界条件确定 中的待定常数。 用半逆解法求解梁、矩形长板类弹性力学平面问题的基本步骤： 应力函数法求解平面问题的基本步骤： （1） (2-27) （2） 然后将 代入式（2-26）求出应力分量： 先由方程（2-27）求出应力函数： (2-26) （3） 再让 满足应力边界条件和位移单值条件（多连体问题）。 求解方法： 逆解法 （1） 根据问题的条件 （几何形状、受力特点、边界条件等）， 假设各种满足相容方程（2-27）的φ(x,y) 的形式； （2） 然后利用应力分量计算式（2-26），求出 （具有待定系数）； （3） 再利用应力边界条件式（2-18），来考察这些应力函数φ(x,y) 对应什么样的边界面力问题，从而得知所设应力函数φ(x,y) 可以求解什么问题。 —— 半逆解法的数学基础：数理方程中分离变量法。 （1） 根据问题的条件 （几何形状、受力特点、边界条件等）， 假设部分