20_经典谱估计与参数模型法要点.ppt

第四章 功率谱估计§4.1 引 言 研究信号与系统有两类基本方法: 时域法和频域法. 由于随机信号不存在 傅氏变换, 因此在频域主要研究它的功率谱. 功率谱的两种定义: （1）定义之一——维纳-辛钦定理 根据维纳-辛钦定理, 信号 的功率谱 和它的自相关函数 构成一对傅氏变换: 正变换 (4.1.1) 逆变换 (4.1.2) （2）定义之二 式(4.1.1)中的 通常根据自相关函数定义计算, 设 为复信号, 则 (4.1.3) 对于平稳随机信号, 由于服从各态历经定理, 因而集合平均可以用时间 平均代替. 因此上式可表示为 (4.1.4) 将上式代入式(4.1.1), 可得 的另一定义: (4.1.5) 通常可能获得的观测数据 为有限个, 因此只能计算自相关函数和功 率谱的估值, 这就是功率谱估计问题. 功率谱估计的两种方法: 功率谱的估计方法有多种, 一般可分为两大类: 经典谱估计和现代谱估 计. §4.2 经典谱估计 经典谱估计建立在传统的傅里叶变换基础之上. 通常有两种方法: BT法 和周期图法. 4.2.1 BT法 1958年由布莱克曼(R.Blackman)和杜基(J.Tukey)提出. BT法先是根据有限个观测数据估计自相关函数, 然后再利用傅氏变换得 到功率谱估值. 通常采用有偏自相关函数估计(方差较小), 公式为 , (4.2.1) 称为取样自相关函数, 这种估计是渐近一致估计. 对上式进行傅氏 变换, 得BT法的功率谱估计值为 , (4.2.2) 为了进一步减小估计方差, 还可对上式进行加窗处理. 可以证明, 按上式 估计是非一致估计, 因而不是好的估计. 4.2.2 周期图法 1.周期图定义 周期图法是通过对随机数据直接进行傅里叶变换的一种功率谱估计方法 . 1965年Cooley和Tukey提出FFT以后, 使DFT的运算量显著降低, 从而为 周期图法的应用创造了条件. 根据定义, 的自相关函数可表示为 与 的卷积, 即 据此, 式(4.2.1)可写成 , 上式的傅氏变换用符号 表示, 则 (4.2.3) 其中, 是 的 点DFT: (4.2.4) 由于 是周期函数, 所以用式(4.2.3)估计 , 称为“周期图法”, 可 用FFT实现. 实际上, 根据功率谱的第二种定义式: 若忽略求统计平均的运算, 并设观测数据为: , 所得结 果与式(4.2.3)相同. 2.周期图与BT法的等价性 BT估计算法可归结为: 由随机序列 , 首先求得有 偏自相关函数估计 , 然后求 的傅氏变换: 周期图法可归结为: 由随机序列 , 首先求 的傅 氏变换 再求周期图 即取多个样本傅氏变换幅值模的平方, 再求平均值作为功率谱估计. 利用以上关系式可以证明, 周期图就是BT法中有偏自相关估值 所得的功率谱估计. ● 证明如下: 由周期图表达式 令 , 即 , 则 由于 所以 周期图法不需要估计自相关函数, 可以利用FFT进行计算, 因此比BT法 简单, 在出现FFT以后, 应用较为广泛. 4.2.3 经典谱估计的问题与改进 1.主要问题 经典谱估计的基础是傅氏变换. 因傅里叶变换域为无穷大, 而观测数据是 有限的, 对观测不到的数据实际上都被强制地当作0处理,这相当于无限长 样本用矩形窗加以截断. 由于窗口以外的数据仍有很强的相关性, 因此, 用 有限长样本序列估计出来的功率谱必