21_AR谱估计的性质要点.ppt

§4.4 AR谱估计的性质 AR模型谱估计具有一些很好的性质, 下面简要讨论之. 4.4.1 AR模型与线性预测谱估计等价 在第三章讨论 阶前向(及后向)线性预测时, 已经根据最小均方预测误差 准则, 分别导出预测系数与信号自相关函数之间的关系. 例如, 对 阶前 向预测误差滤波器, 有下列一组线性方程: (4.4.1a) 相应的矩阵形式为 (4.4.1b) 上式即为Yule-Walker方程. 式中 表示线性一步预测误差, 即 (4.4.2) 为最小均方预测误差. 预测系数 与预测器的单 位冲激响应 的关系为 , 另一方面, 若 同时又是一个 阶AR过程, 满足差分方程: 其中, 是均值为0, 方差为 的白噪声, 这时AR(p)模型的Yule- Walker方程如下: (4.4.3) 比较式(4.4.1)和(4.4.3)可知, 若AR模型与线性预测误差滤波器具有相同 的阶次 , 且 , 则AR模型系数与预测系数是一样的. 以上说明: （a）一个 阶的AR模型等效于一个 阶的最佳线性预测器. (b)预测误差滤波器是AR模型 的逆滤波器. 在AR(p)模型中, 白噪声 激励 产生 ; 若将 作为一 阶预测误差滤波器的输入, 其输出为 . 显然有 因此 阶预测误差滤波器是AR(p)模型的逆滤波器(又称白化滤波器),如 图4.4.1所示. (c)基于以上分析, 也可将AR(p)模型定义为 式中, 是 阶最佳一步线性预测器的预测值, 即 综上所述, AR模型谱估计与线性预测谱估计是等价的. 4.4.2 AR模型隐含自相关函数延拓特性(外推) 本节讨论AR谱估计的分辨率问题. 1. 谱分辨率概念 谱估值 的频域分辨率, 是指 保持其真实谱 中两个 邻近的谱峰仍被分辨出来的能力. 决定 分辨率的主要因素是所使用的数据的长度, 也即窗函数的宽 度 . (可根据信号的时-频特性进行粗略解释) 例如: ●对长度为 的信号, 若取样间隔为 , 则由DFT做谱分析时,其分辨率 近似为 ; ●经典谱估计的分辨率正比于 (即窗函数主瓣的宽度,其中 为正 整数). 可见, 谱分辨率反比于所使用的信号长度 . 假设真实谱 中有两个相距为的谱峰, 为了在 谱中区分它们, 则要求 因此, 数据长度应满足 (4.4.4) 为了保证 的分辨率, 希望 要大. (但增大N会使 的起伏 加剧) 2. AR谱估计的谱分辨率 在经典谱估计中, BT法的功率谱估计值为 它是把 以外的 值都视为零, 其分辨率不可避免地要受到 窗函数的宽度( ? )的限制. AR模型隐含着数据和自相关函数的外推, 使其可能的长度超过给定的长 度, 这时AR谱对应的自相关函数在 后并不等于零, 因此避免了窗函 数的影响, 使其具有很高的谱分辨率. 已知 模型输出的复功率谱估值为 (4.4.5) 式中, 的系数即为 的模型参数 ,可由自相 关函数的 估计值 求得; 是 的复 共轭. 假设该 是由一个无限长的自相关函数序列 的Z变换得到的, 因此有 (4.4.6a) 上式两边同乘以 , 得 (4.4.6b) 两边再同取Z反变换, 考虑到 并设 是因果的, 且