24.1圆的垂径定理要点.ppt

人教版九年级上册 实践探究 　把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？ 可以发现：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴，它有无数条对称轴．　 看一看 B . O C A E D O . C A E B D AE≠BE AE＝BE ③AM=BM, AB是⊙O的一条弦. 你能发现图中有哪些等量关系?与同伴说说你的想法和理由. 作直径CD,使CD⊥AB,垂足为M. ●O 右图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么? 我们发现图中有 A B C D M└ 由 ① CD是直径 ② CD⊥AB 可推得 ⌒ ⌒ ④AC=BC, ⌒ ⌒ ⑤AD=BD. 垂径定理 如图,理由是: 连接OA,OB, ●O A B C D M└ 则OA=OB. 在Rt△OAM和Rt△OBM中, ∵OA=OB，OM=OM， ∴Rt△OAM≌Rt△OBM. ∴AM=BM. ∴点A和点B关于CD对称. ∵⊙O关于直径CD对称, ∴当圆沿着直径CD对折时,点A与点B重合, ⌒ ⌒ AC和BC重合, ⌒ ⌒ AD和BD重合. ⌒ ⌒ ∴AC =BC, ⌒ ⌒ 　AD =BD. 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧. ●O A B C D M└ CD⊥AB, 如图∵ CD是直径, ∴AM=BM, ⌒ ⌒ AC =BC, ⌒ ⌒ AD=BD. 垂径定理： ②CD⊥AB, AB是⊙O的一条弦,且AM=BM. 你能发现图中有哪些等量关系?与同伴说说你的想法和理由. 过点M作直径CD. ●O 右图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么? 发现图中有: C D 由 ① CD是直径 ③ AM=BM 可推得 ⌒ ⌒ ④AC=BC, ⌒ ⌒ ⑤AD=BD. ● M A B ┗ 如图,理由是: 连接OA,OB, ●O A B C D M└ 则OA=OB. 在△OAM和△OBM中, ∵OA=OB，OM=OM，AM=BM ∴△OAM≌△OBM. ∴∠AMO= ∠ BMO. ∴CD⊥AB ∵⊙O关于直径CD对称, ∴当圆沿着直径CD对折时,点A与点B重合, ⌒ ⌒ AC和BC重合, ⌒ ⌒ AD和BD重合. ⌒ ⌒ ∴AC =BC, ⌒ ⌒ 　AD =BD. 垂径定理的逆定理 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧. 例1 ：如图，已知在⊙O中，弦AB的长为8厘米，圆心O到AB的距离为3厘米，求⊙O的半径。 解：连结OA。过O作OE⊥AB，垂足为E， 则OE＝3，AE＝BE。 ∵AB＝8 ∴AE＝4 在RtAOE中，根据勾股定理有OA＝5厘米 ∴⊙O的半径为5厘米。 . A E B O 问题:它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？ 赵州桥主桥拱的半径是多少？ 37.4m 7.2m A B O C D 关于弦的问题，常常需要过圆心作弦的垂线段，这是一条非常重要的辅助线。 圆心到弦的距离、半径、弦构成直角三角形，便将问题转化为直角三角形的问题。 A B O C D 解：如图，用AB表示主桥拱，设AB所在的圆的圆心为O，半径为r. 经过圆心O作弦AB的垂线OC垂足为D，与AB交于点C，则D是AB的中点，C是AB的中点，CD就是拱高. ∴ AB=37.4m，CD=7.2m ∴ AD=1/2 AB=18.7m，OD=OC-CD=r-7.2 ∵ ∴ 解得r=27.9（m） 即主桥拱半径约为27.9m. ⌒ ⌒ ⌒ ②CD⊥AB, 如图所示，交换条件，你还能得到什么结论？ ●O 发现图中有: C D 由 ① CD是直径 ③ AM=BM 可推得 ⌒ ⌒ ④AC=BC, ⌒ ⌒ ⑤AD=BD. ● M A B ┗ * * * * * * * *