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§8. 高阶导数与高阶微分 Hunan City University * 一、高阶导数及其运算法则 一阶导数 于是 例如： 二阶导数的物理意义 Def : 例1. 例2. 例3. ① ② ——逐阶整理法 例4. 高阶导数的运算法则 1. 2. Leibniz 公式： 其中 注1. 比较二项式展开公式 记忆： 注2. 法则1，2成立的条件是 与 均存在 n 阶导数. 例5. 解： 例6. 解： 注3. 求复合函数、参数方程及隐函数等的高阶导数，仍是 重复应用一阶导数的法则. 如： 例7. 解： 例8. 解： 得 得 二、高阶微分 Def: y = f (x) 的各阶微分： 一般地， 即： 对于复合函数，上述公式不成立. 注意: (1) 求高阶微分时，若 x 是自变量，则由于 dx 是不依赖于 x 的任意的数，故关于 x 微分时，必须视 dx为常数因子.若 x 不是自变量，而是某一变量的函数，如 (3) 求 n 阶微分实质上就是求 n 阶导数. (2) 例9： 解： （1） （2） 例10. 解： 三、小结 高阶导数的定义及物理意义; 高阶导数的运算法则(莱布尼兹公式); n阶导数的求法; 1.直接法; 2.间接法. §8. 高阶导数与高阶微分 Hunan City University *
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