高数上册第2章导数与微分.ppt

第2章 一、 引例 2. 平面曲线的切线斜率 两个问题的共性: 二、导数的定义 2. 导数的几何意义 例1. 求曲线 3. 单侧导数 定理1. 函数 三、 函数的可导性与连续性的关系 例3. 讨论 例6. 设 一、四则运算求导法则 例1. 例2. 求导数 二、反函数的求导法则 例3. 反三角函数的导数. 三、复合函数求导法则 推广：此法则可推广到多个中间变量的情形. 例4. 求下列导数: 例5. 设 例6. 求函数 的导数. 四、导数基本公示表 一、高阶导数的概念 定义. 例1. 试求下列函数的 n 阶导数. 4. 设 二、高阶导数的求导运算法则 一、隐函数求导法 例1. 求由方程 例2. 求曲线 例3. 设 例4. 求 又如, 二、由参数方程确定的函数的导数 若上述参数方程中 例5. 设 由极坐标方程所确定的函数的导数： 三、相关变化率 例6. 一气球从离开观察员500 m 处离地面铅直上升, 思考题: 当气球升至500 m 时停住 , 有一观测者以 一、微分的概念 定义: 若函数 定理 : 函数 定理 : 函数 说明: 微分的几何意义: 二、 微分基本公式和运算法则 例1. 设 三、微分在近似计算中的应用 特别当 例4. 求 例5. 计算 例6. 有一批半径为1cm 的球 , 若函数 的导数 可导, 或 即 或 类似地 , 二阶导数的导数称为三阶导数 , 阶导数的导数称为 n 阶导数 , 或 的二阶导数 , 记作 的导数为 依次类推 , 分别记作 则称 解: 由 规定 0 ! = 1 思考: 3. 设 求 求 由 一般地 , 类似可证: 都有 n 阶导数 , 则 (C为常数) 莱布尼茨(Leibniz) 公式 及 设函数 6. 8. 10 4(5,7,9,11,13) 4 作业： 一、隐函数求导法 二、由参数方程确定的函数的求导法 三、相关变化率 机动 目录 上页 下页 返回 结束 §2.4 隐函数和参数方程求导 及相关变化率 第2章 若由方程 可确定 y 是 x 的函数 , 由 表示的函数 , 称为显函数 . 例如, 可确定显函数 可确定 y 是 x 的函数 , 但此隐函数不能显化 . 函数为隐函数 . 则称此 隐函数求导方法: 1.两边对 x 求导 2. 解出 机动 目录 上页 下页 返回 结束 的导数 解: 方程两边对 x 求导 得 确定的隐函数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 上 处的切线方程. 解: 曲线方程两边对 x 求导 故切线方程为 即 机动 目录 上页 下页 返回 结束 方程两边对 x 求导，得 (ii)再求 机动 目录 上页 下页 返回 结束 隐函数求高阶导数 解：(i)先求 对上式两边对 x 求导，得 的导数 . 解: 两边取对数 , 化为隐式 两边对 x 求导 机动 目录 上页 下页 返回 结束 对数求导法 当函数的表达式是由多个因式的积、商、幂构成的, 或是幂指函数 时， 两边取自然对数, 化简，再利用隐函数求导法求导. 对 x 求导 两边取对数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 若参数方程 可确定一个 y 与 x 之间的函数 单调可导, 且 则 时, 有 时, 有 (此时看成 x 是 y 的函数 ) 关系, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二阶可导, 且 则由它确定的函数 可求二阶导数 . 构造新的参数方程 ,可得 机动 目录 上页 下页 返回 结束 …… 求 解: 求 机动 目录 上页 下页 返回 结束 求 构造参数方程 则 再构造参数方程 极坐标与直角坐标的关系 机动 目录 上页 下页 返回 结束 如： 则曲线的切线斜率为 设已给曲线C： 机动 目录 上页 下页 返回 结束 从而 例如. 验证对数螺线 向径沿逆时针方向转到切线位置的夹角. 上所有点的切线与向径 的夹角为常量. 再如. 求心形线 的切线与向径的夹角. 为两可导函数 之间有联系 之间也有联系 称为相关变化率 相关变化率问题解法: 找出相关变量的关系式 对 t 求导 得相关变化率之间的关系式 求出未知的相关变化率 机动 目录 上页 下页 返回 结束 其速率为 当气球高度为 500 m 时, 观察员 视线的仰角增加率是多少? 解: 设气球上升 t 分后其高度为h , 仰角为? , 则 两