高数上册第3章微分中值定理与导数的应用.ppt

第3章 一、罗尔 Rolle 定理 罗尔（ Rolle ）中值定理 若 M m , 则 M 和 m 中至少有一个与端点值不等, 2 定理条件只是充分的而非必要的. 例2. 证明方程 二、拉格朗日中值定理 拉格朗日中值定理的有限增量形式: 例2. 证明不等式 例3. 证明等式 三、柯西 Cauchy 中值定理 证: 作辅助函数 柯西定理的几何意义: 例1. 设 一、 例1. 求极限 例3. 求极限 二、 例4. 求 说明: 3 若 三、其他未定式: 例6. 求 例7. 求 一、泰勒公式的建立 1. 求 n 次近似多项式 2. 余项估计 泰勒 Taylor 中值定理 : 在不需要余项的精确表达式时 , 泰勒公式可写为 特例: 在泰勒公式中若取 二、几个初等函数的麦克劳林公式 三、泰勒公式的应用 例1. 计算无理数 e 的近似值 , 使误差不超过 例2. 用近似公式 2. 利用泰勒公式求极限 3. 利用泰勒公式证明不等式 一、 函数的单调性 例1. 确定函数 说明: 二、函数的极值 注意: 定理 3 极值第一判别法 利用一阶导数确定函数极值的方法步骤： 定理4 极值第二判别法 例1. 求函数 判别法的推广 三、函数的最大 小 值 特别: 例1. 铁路上 AB 段的距离为100 km , 工厂C 距 A 处20 例2. 把一根直径为 d 的圆木锯成矩形梁 , 例3. 设某工厂生产某产品 x 千件的成本是 说明：在经济学中 四、曲线的凹凸性及拐点 定理5. 凹凸判定法 例1. 求曲线 例2. 求曲线 一、曲线的渐近线 斜渐近线： 二、函数图形的描绘 例1. 描绘函数 一、 弧微分 二、曲率及其计算公式 再如: 求半径为R 的圆上任意点处的曲率 . 曲率K 的计算公式 例1. 求曲线 例2. 求曲线 三、 曲率圆与曲率半径 例3 设一工件表面的截线为抛物线 , 现要 例4 我国铁路常用立方抛物线 k 为某常数 AC⊥ AB , 要在 AB 线上选定一点 D 向工厂修一条 已知铁路与公路每公里货运 为使货物从B 运到工 20 解: 设 则 令 得 又 所以 为唯一的 极小值点 , 故 AD 15 km 时运费最省 . 总运费 厂C 的运费最省, 从而为最小值点 , 问D点应如何取? km , 公路, 价之比为3:5 , 问矩形截面 的高 h 和 b 应如何选择才能使梁的抗弯截面模量最大? 解: 由力学分析知矩形梁的抗弯截面模量为 令 得 从而有 即 由实际意义可知 , 所求最值存在 , 驻点只一个, 故所求 结果就是最好的选择 . 存在一个取得最大利润的生产水平? 如果存在, 找出它来. 售出该产品 x 千件的收入是 解: 售出 x 千件产品的利润为 问是否 故在 x2 3.414千件处达到最大利润, 而在 x1 0.586千件处发生局部最大亏损. 称为边际成本 称为边际收入 称为边际利润 由此例分析过程可见, 在给出最大 利润的生产水平上 即边际收入＝边际成本 （见右图） 成本函数 收入函数 即 收益最大 亏损最大 定义 . 设函数 在区间 I 上连续 , 1 若恒有 则称 图形是 向上 凹的; 2 若恒有 则称 图形是 向上 凸的 . 连续曲线上的凹凸分界点称为拐点 . 拐点 1 在 I 内 则 f x 在 I 内图形是凹的 ; 2 在 I 内 则 f x 在 I 内图形是凸的 . 证: 利用一阶泰勒公式可得 两式相加 说明 1 成立; 2 设函数 在区间I 上有二阶导数 证毕 对应 的凹凸区间及拐点. 解: 1 求 2 求拐点可疑点坐标 令 得 3 列表判别 故该曲线在 及 上向上凹, 向上凸 , 点 0 , 1 及 均为拐点. 凹 凹 凸 的拐点. 解: 不存在 因此点 0 , 0 为曲线 的拐点 . 凹 凸 一、 曲线的渐近线 二、 函数图形的描绘 §3.5 函数图形的描绘 第3章 若 则曲线 有水平渐近线 若 则曲线 有竖直渐近线 例如，求曲线 的渐近线 . 析: 为水平渐近线; 为竖直渐近线. 斜渐近线 若 步骤 : 1. 确定函数 的定义域 , 期性 ; 2. 求 并求出 及 3. 列表判别增减及凹凸区间 , 求出极值和拐点 ; 4. 求渐近线 ; 5. 确定某些特殊点 , 描绘函数图形 . 为 0 和不存在 的点 ; 并考察其对称性及周 的图形. 解: 1 定义域为 图形对称于 y 轴. 2 求关键点 3 判别曲线形态 极大 拐点 为水平渐近线 5 作图 4 求渐近线 极大 拐点 曲线的弯曲程度 与切线的转角有关 与曲线的弧长有关 主要内容