概率论与数理统计---{多维随机变量及其分布}四节：随机变量的独立性课件.pptVIP

作业 习题3-4 2;4;5 概率论 概率论 随机变量相互独立的定义 第四节 随机变量的独立性 两事件 A , B 独立的定义是: 若 P(AB)=P(A)P(B) 则称事件 A, B 独立 . 1. 设 X,Y 是两个 r.v., 若对任意的 x, y, 有: 则称 X 和 Y 相互独立 . 一、随机变量相互独立的定义 2. 设 X,Y是两个 r.v., 若对任意的 x,y, 有: 则称 X 和 Y 相互独立 . 3. 若 (X,Y) 是离散型 r.v., 则上述独立性的定义等价于： 对 (X,Y) 的所有可能取值(xi, yj),有 则称 X 和Y 相互独立. 其中 是X和Y的联合密度， 几乎处处成立, 则称 X 和 Y 相互独立 . 对任意的 x, y, 有: 4. 若 (X,Y) 是连续型 r.v., 则上述独立性的定义等价于: 这里“几乎处处成立”的含义是： 在平面上除去面积为 0 的集合外，处处成立. 分别是X的边缘密度和Y 的边缘密度 . 由条件密度的定义： 可知, 当X与Y相互独立时， 例1: 1)设(X,Y)的概率密度为 问X和Y是否独立？ 解: x0 y 0 即: 可见对一切 x, y, 均有： 故 X , Y 独立 . 2) 若(X,Y)的概率密度为: 情况又怎样？ 解: 0x1 0y1 故 X 和 Y 不独立 . 例2: 甲乙两人约定中午12时30分在某地会面. 如果甲来到的时间在12:15到12:45之间是均匀分布. 乙独立地到达, 而且到达时间在12:00到13:00之间是均匀分布. 试求1)先到的人等待另一人到达的时间不超过5分钟的概率. 2)甲先到的概率是多少？ 解: 设 X为甲到达时刻, Y为乙到达时刻 以12时为起点,以分为单位,依题意, X~U(15,45), Y~U(0,60) 所求为: P( |X-Y | ≤ 5), 甲先到 的概率 由独立性: 先到的人等待另一人到达的时间 不超过5分钟的概率 P(XY) 解一: P( | X-Y| 5 ) =P( -5 X -Y 5) P(XY) 解二: P(X Y) =1/2 被积函数为常数， 直接求面积 =P(X Y) P( | X-Y| 5 ) 类似的问题如： 甲、乙两船同日欲靠同一码头, 设两船各自独立地到达, 并且每艘船在一昼夜间到达是等可能的. 若甲船需停泊1小时, 乙船需停泊2小时, 而该码头只能停泊一艘船, 试求其中一艘船要等待码头空出的概率. 在某一分钟的任何时刻, 信号进入收音机是等可能的. 若收到两个互相独立的这种信号的时间间隔小于0.5秒, 则信号将产生互相干扰. 求发生两信号互相干扰的概率. 盒内有 个白球 , 个黑球,有放回地摸球两次. 例3: 设: 第1次摸到白球 第1次摸到黑球 第2次摸到白球 第2次摸到黑球 试求 (1) 的联合分布律及边缘分布律; (2) 判断 的相互独立性; (3) 若改为无放回摸球,解上述两个问题. (1) 的联合分布律及边缘分布律 解 如下表所示 : (2) 由上表可知 故 相互独立. (3) 的联合分布律及边缘分布律如下表所示 : 故 不是相互独立. 由上表知 : 可见: 概率论 概率论