东南大学计算力学习题讲解技术方案.ppt

1 2 3 4 5 6 7 8 ξ η (1) 构造角节点的插值函数：双线性乘积，暂时保证在本节点处为1,在其余角节点处为0 课本内容 (2) 构造边中节点的插值函数：某个方向的一次项与另一个方向的Lagrange多项式的乘积。保证在本节点处为1,在其余所有节点处为0，但在单元内部不为0。若没有中心点(单元内），由此构造的插值函数为最终的结果。如有单元中心点，则需对边中节点修正 ? 课本内容 (3) 使角节点的插值函数在边中点处等于0 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 1.0 1.0 1 2 3 4 5 6 7 8 1.0 0.5 0.5 1.0 1.0 课本内容 局部坐标 （2）荷载作用在2-3边上，故等效结点力只与2、6、3号结点有关 6，如图所示刚架 （1）如何进行结点编号使整体刚度矩阵[K]的带宽最小？ （2）刚架的整体刚度矩阵中a结点的总体刚度矩阵Kaa和总体刚度矩阵Kbc各由哪些分块矩阵叠加组成（自行确定单元局部坐标方向） （1）考虑每个结点有两个自由度，半带宽d=（相邻结点码的最大差值+1）*节点自由度数 故结点编号如图所示可使单元内结点编码相差3，使得带宽d=12(按每节点3自由度假定）。 6，如图所示刚架 （2）刚架的整体刚度矩阵中a结点的总体刚度矩阵Kaa和总体刚度矩阵Kbc各由哪些分块矩阵叠加组成（自行确定单元局部坐标方向） 7，对于图中给出的四结点二次应变一维等参单元，试确定： （a）形函数N1、N2、N3、N4； （b）单元刚度矩阵[k]。 (a)由拉格朗日插值函数可知： (b)一维问题中，单元刚度矩阵 8，试利用变结点数法构造插值函数，构造出如图所示的三次三角形单元的形函数及相应的位移函数。 三角形单元族插值函数构造及变节点数法联合运用 1 x y x2 xy y2 x3 x2y xy2 y3 x4 x3y x2y2 xy3 y4 完全二次 完全三次 完全一次 Pascal三角形 （1）构造不考虑边结点和内部结点的角结点的插值函数： （2）构造不考虑内部结点的边结点的插值函数： （3）构造内部结点插值函数： （4）修正边中点的插值函数： 使边中点的插值函数在内部结点处等于0 ?是内部结点代入到初始边结点的插值函数中的值 （5）修正角结点的插值函数： 解：插值函数N中的多项式阶数为4，微分算子L中的导数的阶次是1，被积函数非完全项最高次为6次，完全项的最高次为4次。 三次 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 x y x2 xy y2 x3 x2y xy2 y3 x4 x3y x2y2 xy3 y4 完全二次 完全三次 完全一次 Pascal三角形 根据高斯积分精度可知，要使Q阶被积函数达成完全（精确）积分，需要积 分点的数目n为: 需要高斯积分点 故积分点数目为4×4。 如果是减缩积分呢？ 减缩积分不管一维、二维、三维，都采用n=p-m+1来确定积分阶次 3×3 10，求图示单元的结点等效荷载 10，求图示单元的结点等效荷载 m j i l 节点位移向量和节点力向量 11，论证矩形4结点12自由度薄板单元是完备的非协调单元。 薄板弯曲时，只有w(x,y)是薄板变形的未知基本函数，而其它量，如u,v等都是w(x,y)的函数，故薄板矩形单元的位移函数的选择实际就是w(x,y)的选取。注意单元有12个自由度，则 另两个转角为： 单元收敛性分析： 1）位移函数 中包含有常量项，反映了刚体位移，如 为挠度常量， 为转角常量。 2）位移函数中包含了常量应变项， 如形变分量为： 表明薄板处于均匀弯扭变形状态，即常应变状态。这里的常应变为挠度的二次函数，而在平面单元中为位移的一次式，这是因为板有厚度，其形变是指不同厚度上的。 3）相邻单元在公共边界上挠度是连续的但转角不一定连续。设边界ij边 y=-b 则 有位移 四个系数刚好通过i，j两个端点的挠度值和绕y轴的两个转角值唯一确定；同时，相邻单元在此边界上也能通过i，j的值唯一确定，故连续。如对于绕x轴的转角： 四个系数不能通过i，j的两个已知转角值唯一待定；同理，相邻单元在此边界上也不能唯一确定四个系数。故转角不连续。 所以，薄板矩形单元是非协调单元。但实践表明，当单元细分，其解完全能收敛真实解。 当x=常数或y=常数的边界上，挠度位移曲线w(x , y)是三次变化的曲线，可由两端结点的挠度值和转角值唯一确定，故在单元交界面上w(x , y)是连续的转角分别是x和y的三次曲线，但是由两端结点的转角不能