线性代数3.3 惯性定理及定性分类要点.ppt

3.3 惯性定理及定性分类 一、用坐标变换法化简二次型 利用可逆变换化二次型为标准型，就是要寻找可逆阵P，使得 对(A,E)行变换 对A相应列变换 例：用一个坐标变换把下列二次型化为标准型： 定理 （惯性定理） 一个二次型的任意两个标准形中的正系数的个数与负系数的个数分别相等. 定义 在二次型f (x)= xTAx 的标准形中，正、负系数的个数 p、q称为二次型的正、负惯性指数，也称为实对称矩阵A的正、负惯性指数. p+q = r 二、惯性定理及规范形 n元实二次型(或n阶实对称矩阵)的规范形与其正、负惯性指数互相唯一确定. 秩和正惯性指数分别相等。 两个n阶实对称矩阵合同 合同，其中+1和-1的个数共有 r(A)个。 任一实对称矩阵A与对角阵 注意： 讨论例题3.18 定义 三、实二次型及实对称矩阵的定性分类 任意 正定 ? 正定 不定 结论：标准形更易判定 定理: 满秩线性变换不改变二次型的正定性。 例6 例7：设A是正定矩阵，则其主对角线元素全为正。 注意：逆命题不成立。 关于 和 形式的矩阵 分别为m阶和n阶半正定矩阵。 和 ，则 矩阵，且 3.若A为 为n阶半正定矩阵。 正定矩阵， 为m阶 　，则 矩阵，且 2.若A为 　为正定矩阵。 若A为n阶可逆矩阵，则 例8： 为A的k阶顺序主子式. 已知 例9 例10 解 解不等式组 ? 正定矩阵的性质： (1) A正定 ? |A| 0，即A可逆. (2) A正定 ? A的主对角线上的元素a ii 0. (3) A正定 ? kA( k 0) , A–1, A*, Am 均正定. (4) A正定 , B 半正定? A+B正定. (5) A正定 ? - A负定.