第1章 函数极限与连续 §1.7 函数的连续性与间断点.ppt

对自变量的增量 间断点分类: 例如: 思考与练习 练习 确定函数 间断点的类型. * 高等数学 第1章 函数极限与连续 1.7 函数的连续性与间断点 第1章 函数极限与连续 1.7 函数的连续性与间断点 §1.7　函数的连续性与间断点 高等数学 第1章 函数极限与连续 1.7 函数的连续性与间断点 高等数学 第1章 函数极限与连续 1.7 函数的连续性与间断点 高等数学 第1章 函数极限与连续 §1.7　函数的连续性与间断点 一、函数的连续性 1．函数在某点处连续的定义 1.7 函数的连续性与间断点 高等数学 第1章 函数极限与连续 定义1.7.1 1.7 函数的连续性与间断点 高等数学 第1章 函数极限与连续 图1-14 可见 , 函数 在点 在 的某邻域内有定义 , 则称函数 (1) 在点 即 (2) 极限 (3) 设函数 连续必须具备下列条件: 存在 ; 且 有定义 , 存在 ; 定义1.7.2 1.7 函数的连续性与间断点 高等数学 第1章 函数极限与连续 定义1.7.3 左连续及右连续统称为单侧连续. 1.7 函数的连续性与间断点 高等数学 第1章 函数极限与连续 2．函数在某点处左、右连续的概念 定理1.7.1 有函数的增量 左连续 右连续 当 时, 有 函数 在点 连续有下列等价命题: 小结： 定义1.7.4 1.7 函数的连续性与间断点 高等数学 第1章 函数极限与连续 3．函数在区间上连续性 continue 若 在某区间上每一点都连续 , 则称它在该区间上 连续 , 或称它为该区间上的连续函数 . 例如, 在 上连续 . ( 有理整函数 ) 又如, 有理分式函数 在其定义域内连续. 在闭区间 上的连续函数的集合记作 只要 都有 例1.7.1 证 1.7 函数的连续性与间断点 高等数学 第1章 函数极限与连续 解 由初等函数的连续性知， 例1.7.2 图1-16 · 如图1-16. 1.7 函数的连续性与间断点 高等数学 第1章 函数极限与连续 例1.7.3* 解 1.7 函数的连续性与间断点 高等数学 第1章 函数极限与连续 1.7 函数的连续性与间断点 高等数学 第1章 函数极限与连续 在 在 (1) 函数 (2) 函数 不存在; (3) 函数 存在 , 但 不连续 : 设 在点 的某去心邻域内有定义 , 则下列情形 这样的点 之一函数 f (x) 在点 虽有定义 , 但 虽有定义 , 且 称为间断点 . 在 无定义 ; 二、函数的间断点及其分类 定义1.7.5 例1.7.4 解 图1-17 1.7 函数的连续性与间断点 高等数学 第1章 函数极限与连续 第一类间断点: 及 均存在 , 若 称 若 称 第二类间断点: 及 中至少一个不存在 , 称 若其中有一个为振荡 , 称 若其中有一个为 为可去间断点 . 为跳跃间断点 . 为无穷间断点 . 为振荡间断点 . 为其无穷间断点 . 为其振荡间断点 . 为可去间断点 . 显然 为其可去间断点 . (4) (5) 为其跳跃间断点 . 内容小结 左连续 右连续 第一类间断点 可去间断点 跳跃间断点 左右极限都存在 第二类间断点 无穷间断点 振荡间断点 左右极限至少有一个不存在 在点 间断的类型 在点 连续的等价形式 1. 讨论函数 x = 2 是第二类无穷间断点 . 间断点的类型. 2. 设 时 提示: 为 连续函数. 答案: x = 1 是第一类可去间断点 , 解: 间断点 为无穷间断点; 故 为跳跃间断点. * 高等数学 第1章 函数极限与连续 1.7 函数的连续性与间断点