第1章 线性空间与线性变换讲义.ppt

例题 定理(维数公式): 设V1, V2 是线性空间V 的子空间，则 维数公式 例5 设V1, V2 是n维线性空间V 的子空间，若 则V1, V2 中必有非零的公共向量。 子空间的直和 定义：设V1, V2 是线性空间V 的子空间，若对每个向量 a?V1+ V2 都有唯一的分解式 则称V1与V2 的和V1+ V2是直和，记作 V1? V2 。 例1. 线性空间R3的子空间 求 Rx? Ry ，Rx? Ryz 。 定理：设V1, V2 是线性空间V 的子空间，则下列命题等价 (2) 向量 0 的分解式是唯一的； (4) V1的一组基与V2 的一组基的简单并是V1+ V2的基； (1) V1与V2 的和V1+ V2是直和; (3) V1 ∩ V2 = {0}; (5) dim(V1+ V2) = dimV1 + dimV2 。 例2. 设 定理：设U 是线性空间V 的子空间，则存在V 的 子空间W，使得V = U? W。 称W 是U在V中的直和补。 1.3 线性空间的同构 同构的性质 同构保持线性关系不变。 定理：数域F上两个有限维线性空间同构的充分必要条件是他们有相同的维数. 应用：借助于空间Fn中已经有的结论和方法可以研究一般线性空间的线性关系。 1.4 线性变换 定义 设V 为线性空间， V 上的变换 T : V →V 若满足 则称 T 为 V 上的线性变换。 例1. 设T 为R2上的线性变换， T : R2→R2 T (a) = a ′ （如图） T 把向量 a 绕原点逆时针 旋转 q 角度变换为a ′ 。 x y O a a ′ q 称T为旋转 变换。 例2. 设T 为R3上的线性变换， T : R3→R3 例3. 设T 为 上的线性变换， 其中矩阵A是 n 阶方阵. 线性变换的性质：设T是V上的线性变换，则 线性变换的矩阵 定义 设 T 为 V 上的线性变换，a1, a2, … ,an为 V 的基 A 称为T 在基 a1, a2, … ,an 下的矩阵. * A 线性变换的核与像 * 例1. 设 T 为 上的线性变换， ， 求 T 在基 下的矩阵. 例2. 设 T 为R3上的变换， 下的矩阵. (2) 求 T 在基 (1) 证明： T 为 R3上的线性变换； (3) 求T 的象和核 例??已知 线性空间 定义映射 T： (1)证明T是V上的线性变换； (2)求V的一组基，使得T在这组基下的矩阵为对角阵。 不变子空间 定义: 设V 是线性空间，W是V 的子空间， T 是V上的线性变换，若 ?a?W , 都有T(a)?W, 则称W是V的T不变空间。 例 设T 是线性空间V上的线性变换，则 ImT , KerT 是T 不变空间； 1.1 线性空间的基本概念 * 定义：设 F 是复数的一个非空集合，若满足 1）F中包含0和1； 2）F对数的四则运算封闭 则称集合F是一个数域（field） 例子： 本教程所见数域都是实数域R或者是复数域C 第1章 线性空间与线性变换 线性空间的定义 * 定义：设 V 是一个非空集合，F 为数域，a, b, g ? V, 对于任意的a, b ? V, 总有唯一的元素 g ? V 与之对应，称 g 为a 与b 的和，记作 g =a +b，且 * 对于任意的 l ? F 及任意的a ? V ，总有唯一的元素 d ? V 与之对应，称d 为l与a 的积，记作 d = la，且 则称V 为数域 F 上的线性空间，称V 的元素为向量， 称满足(1)-(4)的和为加法，满足(5)-(8)的积为数乘。 * 定义加法： 例1. 实数域上全体 n 维向量的集合 定义数乘： 例2 实数域 R上的全体 m×n 矩阵，对矩阵的加法 和数乘运算构成 R上的线性空间，记作 Rm×n ∴ Rm×n是一个线性空间。 * 对于多项式的加法、数乘多项式构成线性空间。 * 例3 次数小于n 的多项式的全体，记作 P[x]n 对于多项式的加法和乘数运算不构成线性空间 n -1次多项式的全体 } 0 { ] [ 0 1 1 + + + = a a x a x a x Q n-1 n-1 n-1 n L 例4 . ] [ 对运算不封闭 x Q n \ * 例5 在区间[a, b]上全体实连续函数，对函数的 加法与数和函数的数量