第2章 个别保单的理赔额与理赔次数模型.ppt

解： 6、保单限额+免赔额+比例分担免赔 当保单限额 ????????、免赔额 ???????和比例分担系数 ?????????同时存在时， 被保险人获得的实际赔付额 ???????????????????????????和保险人的理赔额 ?????????分别为： 和 的期望 定理2-1-1 设X 表示实际损失额，分布函数为 若保单规定了免赔额为d，保单限额为L 以及赔付比例为a，则实际赔付额 I(X) 和理赔额的期望为： 例2-1-6 设某险种保单损失额X的概率密度函数为 保单约定免赔额为5个单位，保单限额为25个单位，赔付比例为80%。问： （1）保单发生索赔的概率是多少？ （2）理赔额Y的期望是多少？ （3）当免赔额从 5个单位提高到10个单位，平均理赔额将会发生什么变化？ 2.1.5 通货膨胀对理赔额的影响 通货膨胀对理赔额的影响主要体现在对损失分布的影响，如根据过去数据给出某险种的损失额为X，通货膨胀率为r，则明年的损失额将为Z=(1+r)X，在考虑赔付额和理赔额时，都将以 Z 作为损失额。 2.2 理赔次数的分布 ?1、泊松分布(Poisson) 对于保险公司而言，客户因发生损失而提出理赔 的人数类似于等待服务现象，因此对大多数险种来 说，个别保单的理赔次数可用泊松分布来表示，即 在单位时间内个别保单发生理赔次数 N 的分布列为： 泊松分布的性质： （1）均值和方差 （2）母函数 （3）矩母函数 ? （4）可加性 （5）可分解性 注意：柏松分布的均值和方差相等，但在实际运用中，并不是所有险种的保单损失次数或理赔次数的均值和方差都相等。 ?2、负二项分布 应用背景：贝努里实验中第 r 次成功正好出现在第 r+k 次试验的概率，k 为 r 次成功前失败的次数。 负二项分布的性质 （1）当r＝1，负二项分布退化为几何分布 （2）母函数与矩母函数 将 化简得到 （3）均值和方差 3、二项分布 应用背景：m次贝努里实验中成功次数的分布。 适用描述理赔次数有限的索赔情况 例如：设有100个40岁的投保人投保生命险，p表示一个投保人明年死亡的概率，则明年死亡人数的分布是二项分布 二项分布的性质 （1）母函数与矩母函数 （2）均值和方差 pz pz+(1-p) 1-p 1+p(z-1) 分布 均值 方差 矩母函数 二项分布 mp mp(1-p) 负二项分布 rb rb(1+b) 二项分布B(m,p) 与负二项分布NB(r,b)的比较 4、（a,b,0）分布族 上述3种分布都可以用(a, b, 0)分布来表示 ?定义2.2：设随机变量N 的分布列满足 则称分布族为(a, b, 0)分布族 注：泊松分布，二项分布，负二项分布是（a,b,0)分布族 泊松分布： 负二项分布： 因此， 当r＝1时，负二项分布是几何分布， 二项分布： m 二项分布 分布 a b p0 泊松分布 0 l 负二项分布 （a,b,0）分布族 例4-1-2：设N是一随机变量，令 如果 问N 的分布是什么？ 解：由 知，N服从二项式分布 例4-1-2：设X的分布属于(a,b,0) class，已知 求 可以证明，也只有这些分布满足上述的递推公式。递推公式（2-2-2）也可以表示为： 即函数 是k 的线性函数，它的图形是一条斜率为a、截距为b的直线。 由表2-3可以看出，柏松分布、负二项分布和二项分布的斜率a分别是0、正数和负数，这一特点可以帮助选择合适的理赔次数分布。 分辨（a，b，0）族的方法： 首先，可以按照下面的近似公式画出关于k的图形： 若由观测值画出的图形近似是一条直线，那么大致可判断其属于(a,b,0)分布族，直线的斜率表示适用的模型。 注意:如果样本数据中出现了某个nk 为0，那么这种方法就不太适用。 （a,b,1）分布族 在非寿险业务中免赔额和保单限额的存在可能会使得理赔次数的分许很容易出现零点的概率异常，有必要对（a,b,0）分布族在零点的值做调整。 ?定义2.3：设随机变量N 的分布列满足 则称分布族为(a, b, 1)分布族 (a, b, 1)分布族包括两个子类： 零点截断分布(zero- truncation)—ZT分布： 当 时，N的取值从k=1开始，从概率分布函数的图形上看，相当于在(a, b, 0)类分布的基础上再截去零点的值，其概率分布用 表示。 零点修正分布(ze