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7.证明： 开集减闭集的差集是开集， 闭集减开集的差集是闭集 9. 每个闭集必是可数个开集的交集， 每个开集必是可数个闭集的并集. 11. f(x)是[a,b]上的连续函数的充分必要条件是对任意实数c，E={x|f(x)≥c}和E1={x|f(x)≤c}都是闭集 证明：我们只要证明充分性： 11 f(x)是[a,b]上的连续函数充分必要条件为对任意实数c， E={x|f(x)≥c} 和E1={x|f(x)≤c}都是闭集 13. Copyright ? Wondershare Software Copyright ? Wondershare Software Copyright ? Wondershare Software 习题讲解 第二章 点集 证明：利用A-B=A∩Bc， 开集的余集是闭集，闭集的余集是开集， 以及有限个开集的交仍是开集， 有限个闭集的交仍是闭集即得。 要证E={x|f(x)a}是开集，只要证Ｅ中的点都为内点 ( ) x０ f(x0)+ε f(x0) f(x0)-ε a 由f(x)在x0处连续及极限的保号性知， 存在δ0,当|x-x0| δ时,有f(x)a 证明：任取x0 ∈ E ={x|f(x)a},则f(x0 )a, 类似可证{x|f(x)a}为开集, 从而{x|f(x)≥a} ={x|f(x)a}c是闭集 即U(x0 , δ) E ={x|f(x)a}, 即x0为E的内点，从而E为开集； 注：用到了 极限保持不等号 前面的证明用了 极限的保号性 另证：要证E={x|f(x)≥a}是闭集，只要证 任取x0 ∈ E = {x|f(x)≥ a} ,则存在E中的点列{xn} , 使得 由f(x)在x0处连续及f(xn)≥a ，可知f(x0)≥a 所以x0 ∈ {x|f(x)≥ a} ,从而{x|f(x)≥a} 是闭集. 类似可证{x|f(x)≤a} 为闭集, 从而{x|f(x)a} = {x|f(x) ≤a} c是开集 证明：设F为闭集，取 则Gn为开集， 任取 任取 从而 通过取余集,即得每个开集必是可数个闭集的并. 再由 为闭集,可得 所以 ，联系前证有 从而每个闭集必是可数个开集的交， 另证：我们只要证明充分性： * *
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