3-1 积分介绍.ppt

第三章 一阶微分方程的解的存在定理 §3.1 解的存在唯一性 §3.2 解的延拓和解对初值的连续性 和可微性 *§3.3 奇解 *§3.3 数值解 §3.1 解的存在唯一性 解存在但不唯一例 解 利普希茨条件 微分方程 称 f (x,y) 在D上关于 y 满足利普希茨条件，如存在常数 L0 满足 L 称为利普希茨常数。 在D上,当 f (x,y), 存在且连续，则在D上关于 y 满足利普希茨条件。 存在唯一性定理 定理 如 f (x,y) 在矩形域R上在上连续 且关于 y 满足利普茨条件， 则方程 在区间 上存在唯一解 连续且 这里 存在唯一性定理 证明方法 方法 1.微分方程 等价于积分方程 2.逐步迫近法 证明 函数序列 满足积分方程 且趋于唯一函数 命题1 积分方程与微分方程等价 命题1设 是微分方程 定义于 区间 上满足初值条件 的解， 则 是积分方程定义于区间上 的连续解。反之亦然。 证 对 有 取定积分 反之，微分得 且 构造逐步迫近函数序列 现取 构造逐步迫近函数序列 这里 存在唯一性定理 第2步 函数序列 在区间 存在、 连续、 一致收敛。 命题2 对所有n,函数序列｛?n(x)} 在x0 ≤ x ≤ x+h上有定义、连续且满足不等式 |?n(x)-y0|≤b 证 当n=1时 显然?1(x)在x0≦x ≦x+h上有定义、连续且有 命题2对n=1成立。 数学归纳法 设当n=k时成立。则对n=k+1, 知在上有定义、连续且有 即命题2当n=k+1时也成立。得证。 命题3 函数序列?n(x)}在x0 ≤ x ≤ x+h上一致收敛 方法将 ?n(x) 变为级数 因 证 (续)命题3 函数序列｛?n(x)} 在x0 ≤ x ≤ x+h上一致收敛 数学归纳法 设当n=k时成立 则对n=k+1, 即对所有n，均成立 (续)命题3 函数序列｛?n(x)} 在x0 ≤x≤x+h上一致收敛 其右端组成正项收敛级数 由魏氏判别法，级数在 x0≤x ≤ x+h上一致收敛。 即｛?n(x)} 在x0 ≤ x ≤ x+h上一致收敛。命题3得证。 现设 则 在 x0 ≤ x ≤ x+h 上有定义、连续且 命题4 ?(x)是积分方程在x0 ≤ x ≤ x+h上的连续解 证 由利普希茨条件 及｛?n(x)} 在x0 ≤ x ≤ x+h上一致收敛于?(x)， 知函数序列｛f(x,?n(x))} 在x0≦x ≦x+h上一致收敛 于是 即 ?(x)是积分方程在x0 ≤ x ≤ x+h上的连续解。 命题5 [唯一性] 设?(x)是积分方程的另一连续解,则?(x)=?(x)。 证 现证?(x)也是序列｛?n(x)} 在上的一致收敛 极限函数。由 得 (续) 命题5 唯一性 设 则 由数学归纳法，对所有n，有 因此 由极限的唯一性，得: 在x0 ≤ x ≤ x+h上 ?(x)=?(x) 注1 参数的几何意义 参数 h 的几何意义：斜率范围。h=b/M BPC1 和 CPB1 的斜率为 ±M。 积分曲线夹在 域BPC和B1PC1 的内部 注2 利普希茨条件 注2 利普希茨条件较难验证，可用f(x,y)在R上 对 y 的连续偏导数 代替。 证当在R上 时有 反例 注3 线性微分方程 注3 线性微分方程 在 P(x),Q(x) 连续的区间满足定理条件。 当P(x),Q(x)在区间[?,?]连续时，对任一初值(x0,y0), x0? [?,?]所确定的解?(x)在整个区间[?,?]上都有定义。 证明中可取 则函数序列｛?n(x)} 在整个区间[?,?]有定义且一致收敛 误差