7交通排队理论.ppt

* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * M/M/S/∞ /∞排队系统是指顾客源，系统容量均为无限的M/M/S/系统，通常称之为标准的M/M/S/系统。 由于系统中S个服务台的服务率均为u，于是整个机构的最大服务率为Su。与M/M/1/∞ /∞系统类似，只有当λ/Su 1时，才能使服务系统达到稳态而不排成无限的队列 令 ρ= λ/Su 称它为这个系统的服务强度。 当系统中只有一个顾客时，则有S-1个服务台空闲着，仅一个服务台在服务，这时的服务率为u，当系统有2个顾客时，就有2个服务台工作，其服务率为2u，…，当系统中有S个顾客时，则服务率达到最大值Su，当系统中的顾客数超过S时，由于S个服务台都忙着，其余顾客必须排队，这时的服务率仍为Su,即 M/M/S/∞/∞系统的状态转移图 当n≤S时 当nS时 而 即 s ①系统中的平均排队长度Lq ②顾客在系统中的平均等候时间Wq 由李太勒公式得 ③顾客在系统中的平均逗留时间Ws ④系统内的平均顾客数Ls 由李太勒公式得 某汽车修理服务站，前来修理的车辆是随机到达的，到达率为4辆/h，每辆汽车在站上修理的持续时间平均0.5h,并服从负指数分布。该站有5个修理服务台可供修理。试求该服务站的运行指标。 解：该服务站的服务系统为没M/M/S/∞/∞系统，并且S=5，λ=4辆/h，u=1/0.5=2辆/h, λ/μ=2，ρ=λ/Su=4/5×2=0.4 ①无来车修理的概率（既所有服务台均空闲的概率） ②修理站前的不出现汽车排队的概率 当在修理站修理的汽车不超过5辆时，就不会出现排队现象。 所以，不出现排队现象的概率为： 即在97.3%的情况下，不会出现排队现象。 ④修理站前的平均排队长度 ③出现排队的概率 ⑤整个系统中的车辆平均数 ⑥汽车排队等候修理所花费的时间 ⑦汽车在整个修理过程中所花的时间 在某收费公路入口处，并排设有3个收费亭，车辆进入收费公路需在收费亭缴费，因而在收费亭前常出现排队现象，收费亭前的排队引道可考虑采用两种方案。 a)方案为车辆到达后排成一队，依次向任一空闲的收费亭缴费进入公路；b) 方案为车辆到达后在三个收费亭前排成三队，三队中间设有分隔带，每队中的车辆只能从相应的收费亭进入公路。 设三个收费亭的服务率是相同的，平均10s处理一辆汽车，车辆的到达率为900辆/h，试比较两种排队系统的运行指标。 1. a)方案排队系统分析 该系统为标准的M/M/S排队系统 ①收费亭空闲的概率P0 ②车辆必须排队的概率（P3） ③排队的平均车辆数 ④整个系统中平均车辆数 ⑤汽车的平均排队时间 ⑥汽车通过收费亭所花的总时间 b)方案排队系统分析 该系统实际上就是三个并列的标准M/M/1排队系统。每个子系统中： u=360辆/h λ=300辆/h ρ=300/360=0.833 每个子系统运行指标如下： ①P0 P0=1-ρ=0.167 ②车辆必须排队的概率P（1） ③Lq ④Ls ⑤Wq ⑥Ws 两种方案的主要运行指标比较 将上面计算的两个系统的主要运行指标列于表，由表可见，在相同的到达率及相同的服务率下，M/M/S排队系统明显优于多个M/M/1并联的排队系统。 两方案主要运行指标 M/M/S M/M/1型 服务台空闲的概率P0 0.045 0.167(每个子系统) 汽车必须排队的概率 0.586 0.694 排队车辆的平均数Lq 3.512辆 4.167辆(每个子系统) 系统中的平均车辆数 Ls 6.012辆 5.000辆(每个子系统) 汽车的平均排队时间Ws 14.06s 50s 汽车在系统中花的总时间Ws 24.06s 60s 在相同的到达率及相同的服务率下，M/M/S排队系统明显优于多个M/M/1并联的排队系统。 在多个M/M/1并联系统中，表面上看起来车流被分散到三个服务台，但实际上受着排队车道与服务台一一对应的束缚，当某一服务台空闲时，其他服务台前的排队车辆不能改道来利用这个服务台，造成某些服务台空闲，而有些服务台前还有车辆排队的现象。 在M/M/S排队系统中，排在第一位的车辆可以到任一空闲的服务台接受服务，比较机动，因此，就整个系统而言， M/M/S系统疏散排队车流的速度反而比多个M/M/1并联系统的疏散速度要快得多。 所谓M/M/S/m/∞排队系统是指系统容量受限制、顾客源无限，先到先服务的M/M/S/系统：该系统共有n-s个位置可