线性代数期末习题课.pptVIP

* 第五章 线性方程组 * ( ) ( ) n B R A R = = ( ) ( ) n B R A R = ２． 非齐次线性方程组解的情况 ( ) n A R = ( ) n A R 1．齐次线性方程组解的情况 称(5.5)式为齐次线性方程组 Ax=0的通解. 齐次线性方程组解的结构 1. 写出 Ax=0的系数矩阵 A. 2. 运用初等行变换将 A 化为行最简形矩阵。 3. 写出形如(5.4)的方程组，并依次取右端的n-r个自由变量 的值为(1,0,…,0), (0,1,…,0),…, (0,0,…,1),得到n-r个解。 4. 这n-r个解便构成Ax=0的基础解系。 例 解线性方程组 解 对系数矩阵施 行初等行变换 即方程组有无穷多解， 其基础解系中有三个线性无关的解向量. 所以原方程组的一个基础解系为 故原方程组的通解为 从而，非齐次线性方程组Ax=b的一般解为 非齐次线性方程组解的结构 设非齐次线性方程组Ax=b有解，则它的一般解为 其中η*是Ax= b 的一个特解，ξ 是对应的齐次线性方程组 Ax=0 的一般解。 设 r(A)=r，齐次线性方程组Ax=0的基础解系为{ξ1,ξ2,…,ξn-r}，则 Ax=0的通解为 其中 k1,k2,…,kn-r 为任意实数。 例求解方程组 解 对增广矩阵施行行初等变换化成行最简形矩阵 * 第六章 方阵的特征值与特征向量 一、基本性质 在复数范围内 n 阶矩阵 A 有n 个特征值（重根按重数计算）． 设 n 阶矩阵 A 的特征值为 l1, l2, …, ln，则 l1 + l2 + … + ln = a11 + a22 + … + ann l1 l2 … ln = |A| 若 l 是 A 的一个特征值，则齐次线性方程组的基础解系 就是对应于特征值为 l 的全体特征向量的最大无关组． 若 l 是 A 的一个特征值，则 j (l) = a0 + a1 l + … + am l m 是矩阵多项式 j (A) = a0 + a1 A + … + am A m 的特征值． 例 问矩阵能否与对角矩阵相似: 解 先求 的特征多项式 所以 A 的特征值为 二、判断方阵相似对角化的方法 当 时, 由 即 写成 ,它的一个基础解系是 对应于特征值 的全部特征向量为 ， （ 不同时为零）。 当 时，由 得 解得基础解系为 对应于 的全部特征向量为 。 因为矩阵A有三个线性无关的特征向量，所以矩阵A能 与对角矩阵相似。取 则 　　利用正交矩阵将对称矩阵化为对角矩阵，其具体步骤为： 三、利用正交矩阵将对称矩阵对角化　　的方法 将特征向量正交化; 3. 将特征向量单位化. 4. 2. 1. * 四、利用对角化求方阵的幂 例 设 ，求 , k 为正整数. 解 A为下三角矩阵，主对角元素就是其特征值，A的特征值 两两不同，所以A可以对角化.下面将A 对角化. * 第七章 二次型 5. 做正交变换 ，则二次型 f 可化为标准形 用正交变换化二次型为标准形的具体步骤: 4. 特征向量 正交化，单位化，得 ，令