单叶双曲面是直纹面.ppt

* 单叶双曲面是直纹面（定义见马鞍 面）。 单叶双曲面是双重的直纹面，即：它有两个直母线系。 马鞍面是直纹面。 直纹面 一曲面S称为直纹面：如果有一族直线，这一族中每一条直线全在S上，并且S上每一点都在这一族的某一条直线上。 这样一族直线称为曲面S的一族直母线。 马鞍面有两个直母线系。 §3.4 直纹面 柱面 是由许多直线构成的曲面 、锥面 、单叶旋转双曲面 由直线生成的曲面 直纹面上的直线 称为直纹面， 称为直母线. 柱面、锥面、单叶旋转双曲面 都是直纹面， 1.椭球面 不是直纹面; 3.双叶双曲面 不是直纹面; 4.椭圆抛物面 不是直纹面. 单叶双曲面 、双曲抛物面 是直纹面. 本节证明: 性质3.4.1 单叶双曲面是直纹面，并且过曲面上每一点有且只有两条直母线。 证 从而可得，单叶双曲面是直纹面，并且过曲 面上任意一点有且只有两条直母线。 性质3.4.2 证 不全为0 单叶双曲面 满足方程(5.1) 满足方程(5.5) 在直线簇(5.5) ∴单叶双曲面(5.1) 由直线簇 (5.5) 构成. 直线簇 的某一直线上 有非零解. 存在不全为的 使 方程组 以 为未知量的 单叶双曲面 不全为0 单叶双曲面 满足方程(5.1) 满足方程(5.6) 在直线簇(5.6) ∴单叶双曲面(5.1) 由直线簇 (5.6) 构成. 直线簇 的某一直线上 有非零解. 存在不全为的 使 方程组 以 为未知量的 是直纹面. 求其两簇直母线: 不全为0 不全为0 例 求单叶双曲面 过点 的直母线方程. 解 λ族: 为λ族中过点M 的直母线. 一簇直母线为 例 求 过点 的直母线方程. 解 μ族: 为λ族中过点M 的直母线. 另一簇直母线为 μ族中过点M 的直母线为 单叶双曲面的直母线 具有以下性质: 对于单叶双曲面上任意一点M, 两族直母线中 各有一条直母线通过该点. 同族的直母线异面 例如，储水塔、 电视塔等建筑都 有用这种结构的。 . 性质3.4.3：单叶双曲面是直纹面，其 返 回 异族的直母线共面 性质3.4.4 双曲抛物面是直纹面. 证 双曲抛物面方程: 满足方程(5.8) 满足方程(5.9) 在直线簇(5.9)的某一直线上 ∴双曲抛物面(5.8) 由直线簇(5.9)构成. 双曲抛物面 直线簇 有非零解. 存在不全为的 不全为0 使 即 证 双曲抛物面方程: 满足方程(5.8) 满足方程(5.10) 在直线簇(5.10)的某一直线上 ∴双曲抛物面(5.8) 由直线簇(5.10)构成. 双曲抛物面 直线簇 例 求双曲抛物面 过点 的直母线方程. 解法一 λ族: μ族: 的直母线. 为λ族中过点M 为μ族中过点M 的直母线. 例 求双曲抛物面 过点 的直母线方程. 解法二 λ族: 的直母线. μ族: 为μ族中过点M 为λ族中过点M 的直母线. * 单叶双曲面是直纹面（定义见马鞍 面）。 单叶双曲面是双重的直纹面，即：它有两个直母线系。 马鞍面是直纹面。 直纹面 一曲面S称为直纹面：如果有一族直线，这一族中每一条直线全在S上，并且S上每一点都在这一族的某一条直线上。 这样一族直线称为曲面S的一族直母线。 马鞍面有两个直母线系。 * *