正螺面的性质摘要正螺面是经典微分几何曲面论中的重要研究对象.doc

正螺面的性质 摘要：正螺面是经典微分几何曲面论中的重要研究对象,本身具有很多重要的几何性质。本文讨论了正螺面的坐标曲线网特性、等距性、直纹性以及该曲面上区域面积的极小性等性质。 关键词:正螺面；圆柱螺线；直纹面；极小曲面 1 正螺面的图形定义及参数表示 正螺面的图形如图（一）所示定义1：由一条垂直于螺旋轴的直线作螺旋运动时所画出的曲面叫正螺面。 旋转是以定角速度顺着轴方向，且移动的距离与转角与(轴交角)成正比,即正螺面的母线与螺线的“轴”垂直相交，当交点沿轴移动时,母线绕轴旋转，且点转动的距离与母线转动的角度成正比。 我们把轴取作旋转轴, 点为正螺面上任意一点, 轴,设，为在平面上的投影，与轴的交角为。表示螺距(比例系数)则正螺面的方程可 写成: 即 定义2:圆柱螺线的主法线曲面（直纹面）为正螺面. 下面证明圆柱螺线的主法线曲面是正螺面，对圆柱螺线 ， 其主法线为 主法面上任意一点的矢径是 令 得 为正螺面. 下面讨论正螺面的参数方程. 参数曲线： 当（常数）时，-曲线 是圆柱螺线. 当（常数）时，-曲线 是直母线，即在平面上的一条直线. 2 正螺面的第一基本形式、第二基本形式 2.1 第一基本形式 正螺面的参数方程： 则 所以 ，， 故第一基本形式 Ⅰ， 若以表示曲面上曲线的弧长，则 Ⅰ 这个二次形式可以决定曲面上曲线的弧长，设曲线上点.则弧长为 2.2 等距变换 曲面之间的一个变换，如果它保持曲面上任意曲线的长度不变，则这个变换称为等距变换（保长变换）. 若令 ， 即得平面上悬链线绕轴旋转所得的悬链面。 悬链面的参数方程 (1) , 其第一基本形式是 Ⅰ (2) 若令 (3) 则 将(2)化为 Ⅰ (4) 这与正螺面 (5) 的第一基本形式一致. 就是说，整个悬链面(1)在正螺面(5)上，的一段可互相贴合，公式(3)则是从(1)到(5)的等距变换公式.在此等距变换里，悬链面上的经线（悬链线）对应于正螺面上的母线，而悬链面上的纬线（圆）则对应于正螺面上的圆柱螺线.若将正螺面贴在悬链面上，则正螺面的每一条母线就在悬链面的一条悬链线上，即有无穷多条母线贴在同一条悬链线上，而正螺面的每一条圆柱螺线则绕在悬链面的一个圆（纬线）上无穷多次。就是说，点与点之间的一一对应只有在的限制下的区域内才能成立. 以上内容说明了,两个曲面之间的一个变换是等距的充要条件是经过适当选择参数后，他们具有相同的第一基本形式. 2.3 第二基本形式 , ， ， ，，， 第二基本形式 Ⅱ 例1 证明对于正螺面 处处有. 证明：因为正螺面方程为 所以 ，，， 即 命题得证. 3 正螺面的性质 3.1 正螺面的坐标曲线网是正交曲线网、渐近曲线网和等温网. 性质1　正螺面的曲纹坐标网是正交网. 证明:　设正螺面 则　 , 所以　 因此坐标曲线网是正交网。 性质2　正螺面的坐标曲线网是渐近曲线网. 证明:　设正螺面的方程为: 得 , ， ， 所以　 由于，所以正螺面坐标曲线网是渐近曲线网. 例2 求证在正螺面上有一族渐近曲线是直线，另一族渐近曲线是螺旋线. 证明： 正螺面的方程为 由性质2知，正螺面坐标曲线网是渐近曲线网. 当（常数）时，-曲线 是螺旋线. 当（常数）时，-曲线 是直母线，即在平面上的一条直线. 性质3 正螺面的坐标曲线网是等温网. 证明： 正螺面的方程为 令 则第一基本形式可化为等温网形式 I 参数称、为等温参数. 所以正螺面是等温网. 3.2 正螺面的直纹性 性质4　正螺面是直纹曲面,但不可展. 证明:　正螺面的方程为: (6) 是参数,其中 是在半径为1的圆柱面上的圆柱螺线. 是平行于面的矢函数. 当(常数) 时,它是一个常矢量,此时(6)式变为 为一直线的矢量式方程.当取遍所有实数时得一族直线,该族直线恰好构成正螺面,即正螺面是以圆柱螺线 为导线, 以 为直母线的直纹曲面. 下证正螺面是不可展的. 方法一: 因为 故正螺面是直纹面但不可展. 方法二: 不可展性还可因高斯曲率非零来证 因为 得 , ， ， 所以　 所以 故正螺面是直纹面但不可