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第三章 常见曲面 §1 空间曲面和空间曲线的方程 §2 柱面和锥面 §3 旋转面 §4 二次曲面 §5 直纹面 §6 作简图 返回 §1 空间曲面和空间曲线的方程 设空间中有曲面S。如果曲面S上每一点的坐 标都满足方程 反之,任何满足方程(1.1)的数组(x,y,z)一定是曲面S 上的某个点的坐标,那么方程(1.1)就称为曲面S的一般 方程，曲面S称为方程(1.1)对应的曲面. 如果曲面S上点的坐标表示成两个参数(u,v)的函 数, 都是区间由它们给出的方程组 称为曲面S的参数方程,其中对于(u,v)的每一对值,由 (1.2)确定的点(x,y,z)在S上;而S上任一点的坐标都可由 (u,v)的某一对值通过(1.2)表示。于是通过曲面的参数 方程(1.2),曲面上的点(可能要除去个别点)便可由数对 (u,v)来确定。 设空间中有一条曲线Г,如果曲线Г上每一个点的 坐标都满足方程组 反之,任何满足(1.3)的数组(x,y,z)都是曲线Г上某个点 的坐标,那么称(1.3)为曲线Г的一般方程，曲线Г称为 方程组(1.3)对应的曲线。空间曲线可视为两曲面的交 线。 如果曲线Г上点的坐标是某个参数 的函数, 是 区间,由它们给出的方程组 称为曲线Г的参数方程。 其中对于 t 的每一个值,由(1.4)确定的点(x,y,z)在Г上， 而Г上任一点的坐标都可由 t 的某个值通过(1.4)表示。 例1：求以 为球心,R为半径的球面方程。 解:球面上任一点(x,y,z)到球心的距离为R,因此它 满足方程 反之,满足(1.5)的任何点 到 的距离为 R,因此属于球面。因而,(1.5)是球面方程。 下面建立球面的参数方程。设球心在原点,半径为 R,在球面上任取一点M(x,y,z),从M作xOy面的垂线,垂足 为N,连OM,ON。设x轴到 的角度(逆时针方向)为 , 到 的角度为 (M在xOy面上方时, 为正,反之 为负)(见图3.1), 则有 就是球心在原点,半径为R的球面的参数方程, 称为经 度,θ称为纬度。 因为空间中任一点M(x,y,z)必在以原点为球心,以 R= 为半径的球面上,而球面上的点(除去它与z轴的 交点外)又由参数( )唯一确定,因此,除去z轴外,空间 中的点M由有序三数组( )唯一确定,我们把 ( )称为空间中点M的球面坐标,其中, 。点M的球面坐标( ) 与M直角坐标(x,y,z)的关系由(1.6)给出。 例2:求以Oz为对称轴,到对称轴的距离为R 的圆柱面方程,其中，R称为圆柱面的半径。 解:设点(x,y,z)为柱面上的点，取参数u,v, 其中，z=v，u 为过z轴及点(x,y,z)的平面与xOz 面所成的角(图3.2)，于是得到 这是圆柱面的参数方程。 消去参数u,v,得到圆柱面的一般方程 空间中任一点M(x,y,z)必在以 为半 径,以z轴为对称轴的圆柱面上,由圆柱面的参数方 程(1.7)知,圆柱面上的点被数偶(u,v)所确定,从而点 M(z轴上的点除外)被唯一的有序三数组(R,u,v) 确 定。(R,u,v)称为点M的柱面坐标。点M的柱面坐标 与直角坐标的关系是 例3:我们用平面x+y+z=0去截圆心在原点、 半径为R的球面，就可得空间中的一个圆，其方程 为 用该平面去截柱面 ，就可得空间中的 一椭圆 §2 柱面和锥面 定义2.1:空间一直线 l 沿着一条曲线C平行移动时 所产生的曲面称为柱面。l 称为母线,C称为准线。 对于一个柱面,它的准线和母线都不唯一,但母线方 向是唯一的(平面除外)。与每一条母线都相交的曲线均 可作为准线。 设柱面的准线C为 母线方向