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采用等参单元的优点 借助于等参元可以对于一般的任意几何形状的工程问题方便地进行有限元离散。 等参元的插值函数是用自然坐标给出的,等参元的一切计算都是在自然坐标系中规格化的母单元内进行,相关运算大大简化。 不管各个积分形式的矩阵的被积函数如何复杂,都可以采用标准化的数值积分方法计算,从而使工程问题的有限元分析纳入了统一的通用化程序。 北京交通大学 3.6 数值积分 数值积分及其基本思想 Newton-cotes积分公式 Gauss-Legendre积分公式 等参元中积分阶次的选择 北京交通大学 关于数值积分 计算刚度矩阵及等效节点载荷列阵的元素时,往往涉及到复杂函数的定积分,在有限元分析中广泛采用数值积分方法。 数值积分方法是一种近似的方法。 北京交通大学 一个函数的定积分可以通过n个结点的函数值的加权组合来表示 数值积分的基本思想 北京交通大学 求积公式—插值法 北京交通大学 至少具有n-1次代数精度 关于数值积分公式 除了用误差来分析其精确度以外,还可以用代数精度来判断其精度的高低。为了掌握这一方法,下面先给出代数精度的概念。 定义:如果求积公式 而对于 f (x)=x n+1 不精确成立,即 则称积分公式(3.1)具有n阶代数精度。 即 对于 f (x)=x i (i=0,1,…, n) 精确成立, NEWTON-COTES求积公式 如果n个结点 等距分布,则前面的插值型求积公式称为Newton-cotes求积公式。 几个常用求积公式 梯形公式,n=2 Simpson公式,n=3 北京交通大学 Newton-Cotes型求积公式至少具有n-1阶代数精度。 在具有同样计算量的情况下,如果需要进一步提高数值积分的代数精度,Gauss型求积公式可以实现这一目标。 由前面的讨论知道,具有n个节点的插值型求积公式至少具有n-1次代数精度。一般地,若对随机选取的n个节点作插值型求积公式也仅有n-1次代数精度。但是如果我们适当选取求积节点来构造求积公式,就可以提高数值积分的代数精度,这正是Gauss型求积公式的特点。 北京交通大学 GAUSS-LEGENDRE求积公式 n个插值结点非等距分布 结点和积分权系数可以查表 一般GAUSS型求积公式的构造 前面,我们运用正交多项式的根去构造Gauss型求积公式,对于一般权函数ρ(x),要构造关于这个权正交的多项式并不容易,即使求出了相应的正交多项式,求它的根也比较困难。 在这种情况下,可以采用待定系数法,通过解非线性方程组将Gauss型求积公式的系数及节点确定下来。 例 求Gauss型求积公式 解:由于上面的两点公式是Gauss型的,故应具有2n-1=2×2-1=3 阶代数精度系数。这说明上式对于 f(x)=1、x、x2、x3 精确成立,于是,我们将 f(x)=1、x、x2、x3 逐一代入上式,得到一个非线性方程组: 的系数 A1 、A2 及节点 x1、 x2 。 解此非线性方程组 得到 从而,所求的两点Gauss型求积公式为: 总结 高斯积分方法预先定义了积分点和相应的加权系数,求出被积分的函数在指定积分点上的数值,加权后求和,就得到了该函数的积分。 高斯积分方法具有最高的计算精度。采用n个积分点的高斯积分可以达到2n-1阶的精度,也就是说,如果被积分的函数是2n-1次多项式,用n个积分点的高斯积分可以得到精确的积分结果。 北京交通大学 等参元高斯求积公式的一般形式 北京交通大学 等参元中积分阶次的选择 积分阶次的选择直接影响计算的精度和计算工作量。 积分阶次的选择必须保证积分的精度。(完全精确积分) 北京交通大学 作业9 1.Gauss型求积公式是如何构造的?为什么n点Gauss 型求积公式具有2n-1阶代数精度? 2.用两点Gauss 型求积公式计算下列积分 * * * * * * * 实际问题常常需要使用一些几何形状不太规整的单元来逼近原问题。直接研究这些不规整单元的表达式比较困难(在总体坐标系下构造位移插值函数,则计算形状函数矩阵、单元刚度矩阵及等效节点载荷列阵时十分冗繁)。事实上,形状不规整的单元和形状规整的单元(矩形单元、正六面体单元)可以建立一种映射关系,使得物理坐标系中的整体坐标和自然坐标系中的局部坐标一一对应。 等参单元的提出为有限元法成为现代工程实际领域最有效的数值分析方法迈出了极为重要的一步。 北京交通大学 3.5 等参单元 3.5 等参单元 简单杆系问题分析的新途径 等参单元定义的给出 平面问题四边形等参单元计算公式 三维问题六面体等参单元计算公式 采用等参单元的优
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