II非线性回归73-78#.docVIP

§5.3 非线性回归 非线性回归 第一类非线性回归： 一般形式为： 常见模型有下列几种： 　１．双曲线回归：　　　　　 可通过转化，　　　（一元线性回归） 　２．对数回归：　　　　　　 可通过转化，　 　　　（一元线性回归） 　３．多项式回归：　　 可通过转化，　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（多元线性回归） 例：（Ｐ.359）某种半成品 在生产过程中的废品率 与半成品中含某种物质的量有关， 试验 得数据 (右表) ： 求回归方程，并求的最小值． 解：由数据 作散点图，可见 散点的基本变化 情况大体上为抛 物线形． 设　 令　，　 有：　　（为二元线性回归） 下面计算　：　　由于　满足　　　　 而　　　 ； ；　 有　； ； 　　； 　　； 　　． 得　正规方程组　　解得 且　． 故　对的回归方程为：　． 且 当 时，　达到最小， 这时　　　． 第二类非线性回归： 它在形式上和实质上都是非线性回归，求解方法是： 将原模型线性模型线性回归方程非线性方程． 常见非线性回归模型的回归函数 有： 幂函数模型：　　　 取对数（变换），得　 令　， 有：　　由数据（右表） 所以　　 ２．指数函数模型：　　（＊）　或　　　　（＊＊） 　　　（＊）， 　　　　　　　　求得　　后还原． 　　　（＊＊）　 　　　　　　　　求得　　后还原． ３．Ｓ曲线模型：　　 令 有：　．　求得　 后还原． 例：（Ｐ361）钢包在使用时，由于钢水对钢包内耐火材料的侵蚀，容积不断扩大．试根据下列数据（为使用次数，为增大容积）： x 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 y 6.42 8.2 9.58 9.5 9.7 10 9.93 9.99 10.49 10.59 10.6 10.8 10.6 10.9 11.76 求 增大容积与使用次数的关系． 解：将描得散点图，易见：从总体变化趋势可以 认为与为双曲回归模型，即：求． 令　，并求得（下表）， x 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 y 6.42 8.2 9.58 9.5 9.7 10 9.93 9.99 10.49 10.59 10.6 10.8 10.6 10.9 11.76 0.5 0.33 0.25 0.2 0.17 0.14 0.13 0.11 0.1 0.09 0.083 0.077 0.07 0.067 0.063 0.016 0.12 0.104 0.11 0.103 0.1 0.1 0.1 0.095 0.094 0.094 0.093 0.094 0.092 0.085 下面先求 . 利用数据 可得：；； ； ． 所以　；　． 得　　　或　 故得　　回归方程为：　　　　　　（＊） 另外 将描得散点图，易见：从总体变化趋势也可以 认为与为指数函数模型，即：求． 取对数，有： 令　，并求得（下表）， x 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 y 6.42 8.2 9.58 9.5 9.7 10 9.93 9.99 10.49 10.59 10.6 10.8 10.6 10.9 11.76 0.5 0.33 0.25 0.2 0.17 0.14 0.13 0.11 0.1 0.09 0.083 0.077 0.07 0.067 0.063 1.86 2.11 2.26 2.25 2.3 2.3 2.29 2.3 2.35 2.36 2.36 2.38 2.36 2.39 2.47 下面先求 . 利用数据 可得：；； ； ． 所以　；　． 得　　 ．　 换　　 故得　　回归方程为：　　　　　　（＊＊） 从上面的两种对散点图的认识，得出两个完全不同的回归方程． 若比较（＊）与（＊＊）的优劣，可通过对（＊）（＊＊）分别求： 　或　；　． 　　　　 中的任一个进行比较，即：为优． 如 上例中，对（＊）有：　　（大） 　　　　　对（＊＊）有：　　（小） 　　即：（＊＊）比（＊）的回归效果好． 　注：在实际中，通常由专业知识去正确选择模型．否则，就只好选几种较接近散点情况的模型，求得各回归方程后，再去比较（或；的大小），以确定各模型的优劣．进而选定优的模型（方程）． 74