323空间角的问题新人教A选修.ppt

* 空间向量的引入为代数方法处理立体几何问题提供了一种重要的工具和方法，解题时，可用定量的计算代替定性的分析，从而避免了一些繁琐的推理论证。求空间角与距离是立体几何的一类重要的问题，也是高考的热点之一。我们主要研究怎么样用向量的办法解决空间角的问题。 空间的角： 空间的角常见的有： 线线角、线面角、面面角。 空间两条异面直线所成的角可转化为两条相交直线所成的锐角或直角。故我们研究线线角时，就主要求 范围内的角； 斜线与平面所成的角是指斜线与它在面内的射影所成锐角，再结合与面垂直、平行或在面内这些特殊情况，线面角的范围也是 ； 两个平面所成的角是用二面角的平面角来度量。它的范围是 。 总之，空间的角最终都可以转化为两相交直线所成的角。因此我们可以考虑通过两个向量的夹角去求这些空间角。 异面直线所成角的范围： 思考： 结论： 一、线线角： 所以 与 所成角的余弦值为 解：以点C为坐标原点建立空间直角坐标 系 ,如图所示，设 则： 所以： 例一： 练习： 在长方体 中， 简解： 直线与平面所成角的范围： 思考： 结论： 二、线面角： 例二： 在长方体 中， 简解： 所以~~~~ 练习： 的棱长为1. 正方体 x y z 设正方体棱长为1， l 将二面角转化为二面角的两个面的方向向量（在二面角的面内且垂直于二面角的棱）的夹角。如图，设二面角 的大小为 ，其中 D C B A 三、面面角： ①方向向量法： 二面角的范围： l l 三、面面角： 二面角的范围： ②法向量法 注意法向量的方向：一进一出，二面角等于法向量夹角； 同进同出，二面角等于法向量夹角的补角 设平面 方向朝面外， 方向朝面内，属于“一进一出”的情况，二面角等于法向量夹角 小结： 1.异面直线所成角： 2.直线与平面所成角： l D C B A 3.二面角： l l 一进一出，二面角等于法向量的夹角； 同进同出，二面角等于法向量夹角的补角。 1.正三棱柱 中，D是AC的中点，当 时，求二面角 的余弦值。 C A D B C1 B1 A1 2.已知正方体 的边长为2， O为AC和BD的交点，M为 的中点 （1）求证： 直线 面MAC; ?（2）求二面角 的余弦值. B1 A1 C1 D1 D C B A O M 解：如图，以C为原点建立空间直角坐标系C-xyz。设底面三角形的边长为a，侧棱长为b, 则 C(0,0,0) 故 则可设 =1， ，则B(0,1,0) y x z C A D B C1 B1 A1 F E 作 于E, 于F， 则〈 〉即为二面角 的大小 在 中， 即E分有向线段 的比为 由于 且 ，所以 在 中，同理可求 ∴ cos〈 〉= ∴ 即二面角 的余弦值为 y x z C A D B C1 B1 A1 F E 2. ①证明：以 为正交基底，建立空间直角坐标系如图。则可得 2.已知正方体 的边长为2， O为AC和BD的交点，M为 的中点 （1）求证： 直线 面MAC; ?（2）求二面角 的余弦值. B1 A1 C1 D1 D C B A O M x y z ② B1 A1 C1 D1 D C B A O M x y z 习题课 例1 如图，在四棱锥P