341北师大九级数学下册第三章圆第四节圆周角和圆心角的关系第一课时.ppt

2015.01 3.4 圆周角和圆心角的关系 第一课时 B A C D E 九年级数学(下)第三章 圆 1.圆是轴对称图形. 圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线,它有无数条对称轴. 2.圆也是中心对称图形. 它的对称中心就是圆心. 知识回顾 4.定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。 5.定理：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。 3.顶点在圆心的角叫做圆心角. 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。 推论 （1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对 的两条弧 （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧 （3）平分一条弧的直径，垂直平分弧所对的弦，并且平分弦所对的另一条弧 垂径定理 . O A E B D C 知识回顾 命题（1）：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 ∵CD是直径，AB是弦，并且CD平分AB ∴CD⊥AB，AD＝BD，AC＝BC ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 命题（2）：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧 ∵ AB是弦，CD平分AB，CD ⊥AB， ∴ CD是直径， AD＝BD，AC＝BC ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 命题（3）：平分一条弧的直径，垂直平分弧所对的弦，并且平分弦所对的另一条弧 ∵ CD是直径，AB是弦，并且AD＝BD （AC＝BC） ∴ CD平分AB，AC＝BC（AD＝BD）CD ⊥AB ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ . O A E B D C 知识回顾 当球员在B,D,E处射门时,他所处的位置对球门AC分别形成三个角∠ABC, ∠ADC,∠AEC.这三个角的大小有什么关系? B A C D E ●O B A C B A C B A C B A C B A C B A C D E . O B C A 特征： ① 角的顶点在圆上. ② 角的两边都与圆相交. 圆周角定义: 顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角叫圆周角. ●O B A C B A C B A C B A C B A C B A C D E 练习： 1.判别下列各图形中的角是不是圆周角，并说明理由。 不是 不是 是 不是 不是 图１ 图２ 图３ 图４ 图５ ●O A B 议一议:改变∠AOB的度数，上面的结论仍成立吗？ 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 如何证明圆周角定理？ 圆周角定理 类比圆心角探知圆周角 在同圆或等圆中,相等的弧所对的圆心角相等. 在同圆或等圆中,相等的弧所对的圆周角有什么关系？ 为了解决这个问题,我们先探究一条弧所对的圆周角和圆心角之间有的关系. 请同学们在圆上确定一条劣弧，画出它所对的圆心角与圆周角。 A C O 证明圆周角定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. ●O A B C 如图,观察弧AB所对的圆周角∠ACB与圆心角∠AOB,它们的大小有什么关系? 说说你的想法,并与同伴交流. ●O A C B ●O A C B ●O A C B 证明圆周角定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 1.首先考虑一种特殊情况：当圆心(O)在圆周角(∠ACB)的一边(BC)上时,圆周角∠ACB与圆心角∠AOB的大小关系 ∵∠AOB是△ACO的外角， ∴∠AOB=∠C+∠A. ∵OA=OC， ●O A C B ∴∠A=∠C. ∴∠AOB=2∠C. 即 ∠ACB = ∠AOB. 证明圆周角定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 2.当圆心(O)在圆周角(∠ACB)的内部时,圆周角∠ACB与圆心角∠AOB的大小关系会怎样? 过点C作直径CD.由1可得: ●O ∴ ∠ACB = ∠AOB. A C B D ∠ACD = ∠AOD,∠BCD = ∠BOD, ∠ACD+∠BCD= (∠AOD+∠BOD) 证明圆周角定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 过点C作直径CD.由1可得: ●O ∴ ∠ACB = ∠AOB. D ∠ACD = ∠AOD,∠BCD = ∠BOD, A C B ∠ACD -∠BCD = (∠AOD-∠BOD), 3.当圆心(O)在圆周角(∠ACB)的外部时,圆周角∠ACB与圆心角∠AOB的大小关系会怎样? 证明圆周角定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 转化 转化 分类讨论、转化 方法小结 ●O A C B ●O A C B D ●O D A C B 如图所示，∠ADB、∠ACB、∠AOB分别是什么角？它们有何共同点？ ∠ADB与∠ACB有什么关系？ 同弧 所对的圆周角相等. (等弧) 都等于这条弧所对的圆心角的一半. 圆周角定理推论: B O A D