代数插值--补充知识2.ppt

代数插值 §1 多项式插值问题 §2 lagrange插值多项式 §3 差商及Newton插值多项式 §4 分段插值多项式 §5 三次样条(Spline)插值多项式 §1 多项式插值问题 §2 Lagrange插值多项式 一、线性插值（n=1） 二、抛物线插值（n=2） 三、n 次Lagrange插值多项式 四、插值余项（误差估计） §3 差商及Newton插值多项式 一、差商及其性质 二、Newton 插值多项式 本节要点 §4 分段插值多项式 4.1 高次插值的龙格现象 4.2 分段线性插值 4.3 分段Hermite 插值 本节问题 §5 三次样条插值 5.1 样条(Spline）函数的定义 5.2 样条函数的求解 1. 三转角算法 三次样条函数三转角算法的实现流程 本节(§5-1、2 )要点 2. 三弯矩算法 5.3 三次样条插值函数的误差估计 1. 如果f(x)?C[a,b]，且划分的网格比 5.4 三次样条插值函数的程序设计 1. 三对角方程求解的追赶法 本节(§5)问题 练 习 二 2-11 给定插值条件式f(0)=0, f(1)=1, f(2)=0, f(3)=1,分别求出边界条件为 或 的三次样条函数的分段表达式。 2-10 设 f(x)=x4+2x3+5 ，在区间[-3,2] 上对节点 x0=-3, x1=-1,x2=1,x3=3 ,求出f(x) 的分段三次 Hermite插值多项式在每个小区间[xi ,xi+1]的表达式及误差公式。 学习动物精神 11、机智应变的猴子：工作的流程有时往往是一成不变的，新人的优势在于不了解既有的做法，而能创造出新的创意与点子。一味 地接受工作的交付， 只能学到工作方法 的皮毛，能思考应 变的人，才会学到 方法的精髓。 学习动物精神 12、善解人意的海豚：常常问自己：我是主管该怎么办才能有助于更好的处理事情的方法。在工作上善解人意， 会减轻主管、共 事者的负担，也 让你更具人缘。 并将 表示为矩阵方程： (2.6) 其系数矩阵称作周期三对角矩阵，也是严格对角占优 ，因而方程组有唯一解。 Step1: 输入节点x0 ,x1 ,…, xn ,函数值y0 ,y1 ,…, yn、 边界条件及 x. Step3: 根据边界条件，求解相应的方程得到 m0 , m1 , … , mn Step2: 计算 Step4: 判断 x∈[x i-1 , xi ] ? Step5: 计算 y≈ si(x) Step6: 输出 y 三次样条函数曲线图 设 例2-4 已知函数y=f(x) 的如下数据,试求 其在区间[0,3]上的三次样条插值函数S(x)。 解 这里边界条件是 求得 已知 由方程组 及 得到方程组 解得 这样便求得 代入表达式 便得到所求的三次样条函数 什么是三次样条函数？ 三次样条函数的边界条件是如何给出的？ 三次样条函数的三转角算法是如何构造的？ 如何设计程序实现三转角算法？画出流程图。 三对角线性方程组和一般线性方程组如何求解？ 完成P49习题2-12、2-13。 只要求出在区间[x i-1 , x i ]上的三次多项式 Si (x) i=1 , 2, … , n 即可。在这里我们采用另一种方法进行求解，并称为三弯矩算法。 加边界条件构成的三次样条函数为分段函数 a = x0 x1 … xn= b, yk =f ( xk ) , k= 0,1,2, … ,n 对于离散点及其上的函数值： 已知Si (x) 满足条件 Si (xi-1) =yi-1 ， Si (xi) =yi (2.1) 在此假设 Si”(xi-1) =Mi-1 , Si”(xi) =Mi (2.2) 对于三次多项式Si (x) ，其二阶导函数Si(xi-1)为线性函数，故可设 积分两次得到 (2.3) 可以求得： 再由条件 Si (xi-1) =yi-1 ， Si (xi) =yi (2.1) (2.3) 代入(2.3)得到：