数学分析(西北师范大学)16.doc

S F 01（数） Ch 16 多元函数的极限与连续 计划课时： 1 0 时 P 207 — 214 2002. 08.20 . Ch 16 多元函数的极限与连续 ( 1 0 时 ) § 1 平面点集与多元函数 ( 3 时 ) 平面点集: 平面点集的表示: 满足的条件}. 余集. 常见平面点集: ⑴ 全平面和半平面 : , , , 等. ⑵ 矩形域: , }. ⑶ 圆域: 开圆 , 闭圆 , 圆环.圆的个部分. 极坐标表示, 特别是 和. ⑷ 角域: . ⑸ 简单域: 型域和型域. 邻域: 圆邻域和方邻域，圆邻域内有方邻域，方邻域内有圆邻域. 空心邻域和实心邻域 , 空心方邻域与集 的区别. 点集拓扑的基本概念: 内点、外点和界点：集合的全体内点集表示为, 边界表示为. 集合的内点, 外点 , 界点不定 . 确定集的内点、外点集和边界 . 为Dirichlet函数. 确定集的内点、外点和界点集 . ( 以凝聚程度分为 ) 聚点和孤立点: 孤立点必为界点 . . 确定集的聚点集 . 解 的聚点集. ( 以包含不包含边界分为 ) 开集和闭集: 时称为开集 , 的聚点集时称为闭集. 存在非开非闭集. 和空集为既开又闭集. ( 以连通性分为 ) 开区域、闭区域、区域：以上常见平面点集均为区域 . 有界集与无界集: 点集的直径： 两点的距离. 三角不等式： （或）. 三. 点列的极限: 设, . 定义 的定义 ( 用邻域语言 ) . , , . 设为点集的一个聚点 . 则存在中的点列, 使. 四. 中的完备性定理: Cauchy收敛准则: 先证{}为Cauchy列和均为Cauchy列. 2. 闭集套定理: [1]P116. 3. 聚点原理: 列紧性 , Weierstrass聚点原理. 有限复盖定理: 二元函数: 二元函数的定义、记法、图象： 定义域： 求定义域： ⅰ ; ⅱ . 二元函数求值: , 求 . , 求. 三种特殊函数: ⑴ 变量对称函数: ,例8中的函数变量对称. ⑵ 变量分离型函数: .例如 , 等 . 但函数不是变量分离型函数 . ⑶ 具有奇、偶性的函数： Ex [1]P120 1—8 . [4]P354 12，13，14. § 2 二元函数的极限 ( 3 时 ) 一. 全面极限与相对极限: 全面极限亦称为二重极限. 全面极限的定义: 亦可记为. 由的定义引入. 用“”定义验证极限 . [1]P122 E1. 用“”定义验证极限 . 证明 . ( 用极坐标变换 ) [1]P123 E2. 相对极限及方向极限: 相对极限 和方向极限的定义. 全面极限与相对极限的关系: Th 1 , 对D的每一个子集E , 只要点是E的聚点 , 就有. 系1 设, 是的聚点 . 若极限不存在 , 则极限 也不存在 . 系2 设, 是和的聚点. 若存在极限, , 但, 则极限不存在. 系3 极限存在, 对D内任一点列, 但, 数列收敛 . 通常为证明极限不存在, 可证明沿某个方向的极限不存在 , 或证明沿某两个方向的极限不相等, 或证明方向极限与方向有关 . 但应注意 , 沿任何方向的极限存 在且相等 全面极限存在 ( 以下例5 ). 证明极限不存在. ( 考虑沿直线的方向极限 ). [1]P124 E3. [1]P124 E4. 全面极限具有与一元函数极限类似的运算性质. 求下列极限: ⅰ ; ⅱ ; ⅲ ; ⅳ . 4