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全国2010年4月高等教育自学考试线性代数(经管类)试题答案
一、单项选择题(本大题共10小题,每小题2分,共20分)
1.,,则( B )
A. B.C. D.
2.A , B , C均为n阶方阵,,,则( D )
A. B.C. D.. 3.B为4阶方阵,且,,则行列式之值为( A )
A. B.C. D.. 4.,,,则( B )
A.PA B.APC.QA D.AQ
5.矩阵,下列命题中正确的是( C )
A.B.C.D..C )
A. B.C.D..线性无关,线性相关,则( D )
A.线性表出 B.线性表出
C.线性表出 D.线性表出
注:是的一个极大无关组. 8.矩阵,,则方程组Ax=0只有零解的充分必要条件是A的秩( D )
A.m B.m C.n D.n
注:方程组Ax=0有n个未知量. 9.A )
A. B.C. D.
A与有相同的特征值. 10.的正惯性指数为( C )
A.0 B.1C.2 D.3
11.的值为_____________.
.,,则_____________.
13.,,若向量满足,则__________.
14.n阶可逆矩阵,且,则|_____________.
15.n阶矩阵,B为n阶非零矩阵,若B的每一个列向量都是齐次线性方程组Ax=0的解,则_____________.
个未知量的Ax=0有非零解,则0. 16.的基础解系所含解向量的个数为_____________.
. 17.n阶可逆矩阵A的一个特征值是,则矩阵必有一个特征值为_________.
,则有特征值,有特征值. 18.的特征值为,则数_____________.
,得2. 19.是正交矩阵,则_____________.
,得0. 20.的矩阵是_____________.
.的值.
解:
.
22.,,求(1);(2).
解:(1);
(2)注意到,所以
.
23.,求向量组的秩及一个极大线性无关组,并用该极大线性无关组表示向量组中的其余向量.
解:
,向量组的秩为3,是一个极大无关组,.
24.,.;(2)解矩阵方程.
解:(1)
,;
(2).
25.a为何值时,线性方程组有惟一解?有无穷多解?并在有解时求出其解(在有无穷多解时,要求用一个特解和导出组的基础解系表示全部解).
解: .
时,,有惟一解,此时
,;
时,,有无穷多解,此时
,,通解为,其中为任意常数.
26.的三个特征值分别为,求正的常数a的值及可逆矩阵P,使.
解:由,得,.
.
对于,解:
,,取;
对于,解:
,,取;
对于,解:
,,取.
令,则P是可逆矩阵,使.
四、证明题(本题6分)
27.均为n阶正交矩阵,证明.
证:A,B,均为n阶正交阵,则,,,所以
.
全国2010年7月高等教育自学考试线性代数(经管类)试题答案
一、单项选择题(本大题共10小题,每小题2分,共20分)
1.设3阶方阵,其中()为A的列向量,若,则( C )
. A. B. C.6 D.12
2.计算行列式( A )
A. B. C.120 D.180
. 3.若A为3阶方阵且,则( C )
A. B.2 C.4 D.8
,. 4.设都是3维向量,则必有( B )
A.线性无关 B.线性相关
C.可由线性表示 D.不可由线性表示
5.若A为6阶方阵,齐次方程组Ax=0基础解系中解向量的个数为2,则( C )
A.2 B.3 C.4 D.5
由,得4. 6.设A、B为同阶方阵,且,则( C )
A.A与B相似 B. C.A与B等价 D.A与B合同
注:A与B有相同的等价标准形. 7.设A为3阶方阵,其特征值分别为,则( D )
A.0 B.2 C.3 D.24
的特征值分别为,所以. 8.若A、B相似,则下列说法错误的是( B )
A.A与B等价 B.A与B合同 C. D.A与B有相同特征值
注:只有正交相似才是合同的. 9.若向量与正交,则( D )
A. B.0 C.2 D.4
由内积,得4. 10.设3阶实对称矩阵A的特征值分别为,则( B )
A.A正定 B.A半正定 C.A负定 D.A半负定
对应的规范型,是半正定的. 二、填空题(本大题共10小题,每小题2分,共20分)
11.设,,则______________.
. 12.设A为3阶方阵,且,则______________.
.
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