2015创新设计(高中理科数学)题组训练7-7.docVIP

第7讲　立体几何中的向量方法(一) ——证明平行与垂直 基础巩固题组 (建议用时：40分钟) 一、选择题 1．已知平面α，β的法向量分别为μ＝(－2,3，－5)，v＝(3，－1，4)，则 (　　)． A．αβ B．αβ C．α、β相交但不垂直 D．以上都不正确 解析　≠≠，μ与v不是共线向量，又μ·v＝－2×3＋3×(－1)＋(－5)×4＝－29≠0，μ与v不垂直，平面α与平面β相交但不垂直． 答案　C 2．若＝λ＋μ，则直线AB与平面CDE的位置关系是(　　)． A．相交 B．平行 C．在平面内 D．平行或在平面内 解析　＝λ＋μ，，，共面．则AB与平面CDE的位置关系是平行或在平面内． 答案　D 3．(2014·泰安质检)已知A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)三点，向量n＝(1,1,1)，则以n为方向向量的直线l与平面ABC的关系是(　　)． A．垂直 B．不垂直 C．平行 D．以上都有可能 解析　易知＝(－1,1,0)，＝(－1,0,1)，·n＝－1×1＋1×1＋0＝0，·n＝0，则n，n，即ABl，ACl，又AB与AC是平面ABC内两相交直线，l⊥平面ABC. 答案　A 4.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝，AD＝2，P为C1D1的中点，M为BC的中点．则AM与PM的位置关系为(　　)． A．平行 B．异面 C．垂直 D．以上都不对 解析　以D点为原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系D－xyz， 依题意，可得，D(0,0,0)，P(0,1，)，C(0,2,0)，A(2，0,0)，M(，2,0)． ＝(，2,0)－(0,1，)＝(，1，－)， ＝(，2,0)－(2，0,0)＝(－，2,0)， ·＝(，1，－)·(－，2,0)＝0， 即，AM⊥PM. 答案　C 5.如图，正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M在EF上，且AM平面BDE.则M点的坐标为(　　)． A．(1,1,1) 　　B. C. 　　D. 解析　连接OE，由AM平面BDE，且AM平面ACEF，平面ACEF∩平面BDE＝OE，AM∥EO， 又O是正方形ABCD对角线交点， M为线段EF的中点． 在空间坐标系中，E(0,0,1)，F(，，1)． 由中点坐标公式，知点M的坐标. 答案　C 二、填空题 6．已知平面α和平面β的法向量分别为a＝(1,1,2)，b＝(x，－2，3)，且αβ，则x＝________. 解析　α⊥β，a·b＝x－2＋6＝0，则x＝－4. 答案　－4 7．已知平面α内的三点A(0,0,1)，B(0,1,0)，C(1,0,0)，平面β的一个法向量n＝(－1，－1，－1)．则不重合的两个平面α与β的位置关系是________． 解析　＝(0,1，－1)，＝(1,0，－1)，n·＝0，n·＝0，n⊥，n，故n也是α的一个法向量．又α与β不重合，α∥β. 答案　平行 8．已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果＝(2，－1，－4)，＝(4,2,0)，＝(－1,2，－1)．对于结论：AP⊥AB；AP⊥AD；是平面ABCD的法向量；∥.其中正确的是________． 解析　·＝0，·＝0， AB⊥AP，ADAP，则正确． 又与不平行， 是平面ABCD的法向量，则正确． 由于＝－＝(2,3,4)，＝(－1,2，－1)， 与不平行，故错误． 答案　 三、解答题 9.如图所示，平面PAD平面ABCD，ABCD为正方形，PAD是直角三角形，且PA＝AD＝2，E，F，G分别是线段PA，PD，CD的中点．求证：PB平面EFG. 证明　平面PAD平面ABCD且ABCD为正方形， AB，AP，AD两两垂直，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz，则A(0,0,0)，B(2，0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0，0,2)，E(0,0,1)，F(0,1,1)，G(1，2,0)． ＝(2,0，－2)，＝(0，－1,0)，＝(1,1，－1)， 设＝s＋t， 即(2,0，－2)＝s(0，－1,0)＋t(1,1，－1)， 解得s＝t＝2.＝2＋2， 又与不共线，，与共面． PB?平面EFG，PB∥平面EFG. 10.如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PC平面ABCD，PC＝2，在四边形ABCD中，B＝C＝90°，AB＝4，CD＝1，点M在PB上，PB＝4PM，PB与平面ABCD成30°的角． (1)求证：CM平面PAD； (2)求证：平面PAB平面PAD. 证明　以C为坐标原点，CB所在直线为x轴，CD所在直线为y轴，CP所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系C－xyz. ∵PC⊥平面ABCD