2015步步高理科数学8.3.docVIP

§8.3　直线、平面平行的判定与性质 1.直线与平面平行的判定与性质 判定性质定义 定理 图形 条件 a∩α＝ a?α，bα，a∥b a∥α a∥α，aβ，α∩β＝b 结论 a∥α b∥α a∩α＝ a∥b 2.面面平行的判定与性质 判定性质定义 定理 图形 条件 α∩β＝ a?β，bβ，a∩b＝P，a∥α，b∥α α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b α∥β，aβ 结论 α∥β α∥β a∥b a∥α 1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行.(　×　) (2)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面.(　√　) (3)若直线a与平面α内无数条直线平行，则a∥α.(　×　) (4)空间四边形ABCD中，E、F分别是AB，AD的中点，则EF∥平面BCD.(　√　) (5)若α∥β，直线a∥α，则a∥β.(　×　) 2.若直线l不平行于平面α，且lα，则(　　) A.α内的所有直线与l异面 B.α内不存在与l平行的直线 C.α内存在唯一的直线与l平行 D.α内的直线与l都相交 答案　B 解析　由题意知，直线l与平面α相交，则直线l与平面α内的直线只有相交和异面两种位置关系，因而只有选项B是正确的. 3.下列命题中，错误的是(　　) A.平面内一个三角形各边所在的直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行 B.平行于同一个平面的两个平面平行 C.若两个平面平行，则位于这两个平面内的直线也互相平行 D.若两个平面平行，则其中一个平面内的直线平行于另一个平面 答案　C 解析　由面面平行的判定定理和性质知A、B、D正确.对于C，位于两个平行平面内的直线也可能异面. 4.如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上.若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于________. 答案　 解析　因为直线EF∥平面AB1C，EF平面ABCD， 且平面AB1C∩平面ABCD＝AC，所以EF∥AC， 又E是DA的中点，所以F是DC的中点， 由中位线定理可得EF＝AC， 又在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2， 所以AC＝2，所以EF＝. 5.已知平面α∥平面β，直线aα，有下列命题： ①a与β内的所有直线平行；②a与β内无数条直线平行；③a与β内的任意一条直线都不垂直. 其中真命题的序号是________. 答案　② 解析　因为α∥β，aα，所以a∥β，在平面β内存在无数条直线与直线a平行，但不是所有直线都与直线a平行，故命题②为真命题，命题①为假命题.在平面β内存在无数条直线与直线a垂直，故命题③为假命题. 题型一　直线与平面平行的判定与性质 例1　(2012·山东)如图，几何体E－ABCD是四棱锥，△ABD为正三角形，CB＝CD，EC⊥BD. (1)求证：BE＝DE； (2)若∠BCD＝120°，M为线段AE的中点，求证：DM∥平面BEC. 思维启迪　(1)利用等腰△EDB底边中线和高重合的性质证明； (2)根据线面平行的判定或两个平面平行的性质证明线面平行. 证明　(1)如图，取BD的中点O，连接CO，EO. 由于CB＝CD，所以CO⊥BD. 又EC⊥BD，EC∩CO＝C， CO，EC平面EOC， 所以BD⊥平面EOC， 因此BD⊥EO. 又O为BD的中点， 所以BE＝DE. (2)方法一　如图，取AB的中点N，连接DM，DN，MN. 因为M是AE的中点， 所以MN∥BE. 又MN平面BEC，BE平面BEC， 所以MN∥平面BEC. 又因为△ABD为正三角形， 所以∠BDN＝30°. 又CB＝CD，∠BCD＝120°，因此∠CBD＝30°. 所以DN∥BC. 又DN平面BEC，BC平面BEC， 所以DN∥平面BEC. 又MN∩DN＝N， 所以平面DMN∥平面BEC. 又DM平面DMN， 所以DM∥平面BEC. 方法二　如图，延长AD，BC交于点F，连接EF. 因为CB＝CD，∠BCD＝120°， 所以∠CBD＝30°. 因为△ABD为正三角形， 所以∠BAD＝60°，∠ABC＝90°， 因为∠AFB＝30°， 所以AB＝AF. 又AB＝AD，所以D为线段AF的中点. 连接DM，由于点M是线段AE的中点， 因此DM∥EF. 又DM平面BEC，EF平面BEC， 所以DM∥平面BEC. 思维升华　判断或证明线面平行的常用方法：(1)利用线面平行的定义(无公共点)；(2)利用线面平行的判定定理(aα，bα，a∥ba∥α)；(3)利用面面平行的性质定理(α∥β，aα?a∥β)；(4)利用面面平行的性质(α∥β，aβ，a∥αa∥β). 　如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中