《 线性代数》试试卷及参考答案(B卷).docVIP

2. 维向量组线性相关的充分必要条件是 . 中有一个零向量； 中任意两个向量的分量成比例； 中有一个向量是其余向量的线性组合； 中任意一个向量是其余向量的线性组合. 3. 是的两个不同的解，是其导出组的基础解系，为任意常数，则的通解为 . ； ； ； . 4. 若，则 . ； ； 对于相同的特征值，两个矩阵有相同的特征向量； 均与同一个对角矩阵相似. 5. 阶方阵与对角矩阵相似的充分必要条件是 . 方阵的秩等于； 有个不全相同的特征值； 有个不同的特征向量； 有个线性无关的特征向量. 得分 评卷人 三、计算题（共40分） 1. （10分）已知，求； 2. （15分）求解非齐次线性方程组 　 3. （15分） 用正交变换化二次型为标准形. 得分 评卷人 四、证明题（共30分） 1.（10分）是二阶矩阵，，证明能够对角化. 2. （10分）已知是的一个基础解系，证明也是该方程组的一个基础解系. 3.（10分）正交向量组是线性无关的向量组. 《 线性代数 》试卷（A卷） 参考答案与评分标准 一、填空 1.; 2. ； 3. ； 4. ； 5. ； 6. ； 7. 个线性无关的特征向量； 8. ； 9. 正负惯性指标； 10.内积. 二、单项选择题 1.b; 2.c; 3.b; 4.b; 5.d. 三、计算题 1. 解 行列式的第一列元素为1，－1，1，－1，而第二列元素的代数余子式为. 即为行列式的第一列元素为1，－1，1，－1与第二列元素的代数余子式为对应乘积之和. ————————5分 由行列式的性质， . ————————10分 　 2. 解 1）求特解. 对方程组的增广矩阵作行初等变换，将其化为简化行阶梯形矩阵. . 由此可见，由于（未知量的个数），故方程组有无穷多解，且与其同解的方程组为 令，得方程组的一个特解 . ————————5分 2）求导出方程组的基础解系. 根据1）中增广矩阵中的系数矩阵的初等变换结果，导出方程组同解于 因（未知量的个数），故导出方程组有无穷多解，且方程组自由未知量个数为，选取为自由未知量，并分别令 ， 代入方程组，则得导出方程组的一个基础解系 ————————12分 3）非齐线性方程组的一般解为 其中为任意常数. ————————15分 3. 解 二次型的矩阵为 . 故矩阵的特征值方程为 ， 所以的特征值为. ————————5分 对于，解齐次线性方程组，得基础解系 ， 对于，解齐次线性方程组，得基础解系 ； 对于，解齐次线性方程组，得基础解系 . 从而线性无关且正交； ————————10分 将单位化，得 ， 于是得正交矩阵 . 即通过正交变换 将二次型化为标准形（注意与的次序相对应） . ————————15分 四、证明题 1. 证 因是二阶矩阵，，即有两个不同的特征值，故能够对角化. ————————10分 2. 证 1）由于是的一个基础解系，故线性无关； ————————5分 2）证明线性无关，且； 故是该方程组的一个基础解系. ————————10分 3. 证 设有，使 . ————————5分 不妨设向量为列向量，则以左乘上式两端，得 . 因，故，从而必有，于是线性无关. ————————10分 1 1 院、部 班 级 姓名 学号 ………………………………………………密………………封………………线………………………………… 《 线性代数 》试卷（A卷） 题号 一 二 三 四 总分 分数 得分 评卷人 1.阶行列式中，副对角线上元素的乘积在行列式中的符号为 ； 2.为矩阵，为矩阵，且，则 . 3.若，则 . 4.若线性相关，则 . 5.设是阶矩阵，的特征值是，则的特征值是 . 6.阶方阵的个特征值为，则这个特征值的乘积等于 .