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南昌大学 2004～2005学年第二学期期末考试试卷及答案
填空题(每空 3 分，共 15 分)
1.设，则.
2.曲面在点处
的切平面方程是.
3.交换累次积分的次序：
.
4.设闭区域D是由分段光滑的曲线L围成,则：
使得格林公式：
成立的充分条件是：
.
其中L是D的取正向曲线;
5.级数的收敛域是.
单项选择题 (每小题3分,共15分)
1.当，时,函数的极限是
A.等于0; B. 等于;
C. 等于; D. 不存在.
2.函数在点处具有偏导数，
是函数在该点可微分的
A.充分必要条件; B.充分但非必要条件;
C.必要但非充分条件; D. 既非充分又非必要条件.
3.设，则
A.; B. ;
C. ; D. .
4.若级数在处收敛,
则此级数在处
A.绝对收敛; B.条件收敛;
C.发散; D.收敛性不确定.
5.微分方程的特解应设为
A. ; B. ;
C. ; D. .
三.（8分）设一平面通过点,而且通过
直线,求该平面方程.
解：
平行该平面
该平面的法向量
所求的平面方程为：
即：
四.（8分）设,其中具有二阶连续偏导数,试求和.
解：令，
五.（8分）计算对弧长的曲线积分
其中是圆周与直线
在第一象限所围区域的边界.
解：
其中： ：
：
：
而
故：
六、（8分）计算对面积的曲面积分,
其中为平面在第一卦限中的部分.
解：：
,
七.（8分）将函数,展开成的幂级数.
解：,
而 ,
,
,
八.（8分）求微分方程：
的通解.
解：,
原方程为：
通解为：
九.幂级数：
1.试写出的和函数;（4分）
2.利用第1问的结果求幂级数的和函数.（8分）
解：1、
于是
2、令：
由1知： 且满足：
通解：
由，得：；故：
十.设函数在上连续,且满足条件
其中是由曲线,绕轴旋转一周而成的曲面
与平面(参数)所围成的空间区域。
1、将三重积分写成累次积分的形式;
（3分）
2、试求函数的表达式.（7分）
解：1、旋转曲面方程为：
由，得：
故在面的投影区域为：：
2、由1得：
记：
则：
两边乘以：，再在 上积分得：
解得：
故：
6
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