2006~207第二学期线性代数试卷及标答A.docVIP

武汉理工大学考试试题纸（ A 卷） 课程名称 线性代数A 专业班级全校各有关专业 题号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总分 题分 15 15 40 10 10 10 100 备注: 学生不得在试题纸上答题(含填空题、选择题等客观题) 单项选择题（每题3分，共15分） 1、已知四阶行列式D中第三列元素依次为-1，2，0，1，它们的余子式依次分别为5，3，-7，4，则D=( ) A.-15 B.15 C.0 D.1 2、设是矩阵，是矩阵，则（ ） A．当时，必有行列式；B．当时，必有行列式 C．当时，必有行列式；D．当时，必有行列式 3、设为的一个基，则下列仍为的一个基的是（ ） A. B. C. D. 4、对非齐次方程组，设，则( ) A.时，方程组有解； B. 时，方程组有唯一解 C.时，方程组有唯一解； D. 时，方程组有无穷多解 5、下列命题中不正确的是( ) A.合同矩阵的秩必相等 B.与对称矩阵合同的矩阵仍是对称阵 C.与都是二次型的矩阵 D.行列式大于零的矩阵是正定矩阵 二、填空题（每题3分，共15分） 1、设为的一个基，则在该基下的坐标为 。 2、． 3、若二次型为正定二次型，则 。 4、若则 。 5、设是阶矩阵，，是的伴随矩阵．若有特征值，则必有一个特征值是 ． 三、解答题。（每题8分，共40分） 1、求 （8分） 2、求矩阵方程，其中 。 （8分） 3、设及试求：当为何值时可由线性表出，并且表示法唯一。（8分） 4、求的特征值和特征向量。（8分） 5、设为3阶矩阵，，求。（8分） 四、当、为何值时，线性方程组 有唯一解，无解，有无穷多组解，并求出有无穷多组解时的通解．（10分） 五、设矩阵A与B相似，其中， ①求; ②求正交阵P，使得.（10分） 六、证明题。（每题5分，共10分） 1、设是阶矩阵，如果存在正整数，使得（为阶零矩阵）， 则矩阵的特征值全为． 2、设向量组是齐次方程组的一个基础解系，向量不是方程组的解，求证：线性无关。 武汉理工大学教务处 试题标准答案及评分标准用纸 课程名称：线性代数A （ A 卷） 选择题（每题3分，共15分） 1、A 2、B 3、B 4、A 5、D 二、填空题（每题3分，共15分） 1、1，1，-1 2、3 3、2 4、1 5、 三、解答题（每题8分，共40分） 1． （5分） 故 （8分） 故 （8分） 3．，（4分） 当且时可由线性表出，并且表示法唯一。 （8分） 4．解: 解得特征值解齐次线性方程组得基础解系为 故对应于的特征值为：解齐次线性方程组得基础解系为： 故对应于的特征值向量为： 因此，原线性方程组的通解为 或者写为 （10分） 五、解：因A与B 相似，故有 解得.（2分） A的特征根为.（3分） 解齐次线性方程组，得 对应于的特征向量为，将它单位化得.（5分） 对应于的特征向量为，将它单位化得. （7分） 对应于的特征向量为. （9分） 令，则即为所求正交矩阵. （10分） 六．1、设是矩阵的特征值，是矩阵的属于的