6.2偏导数资料.ppt

导数(derivative)的定义 一、偏导数的定义及其计算法 偏导数求法: 有关偏导数的几点说明： 6、 偏导数的几何意义 二、高阶偏导数 三、小结 若在 f ( x , y ) 的表达式中将 x 换为 y ，同时 把 y 换为 x 时，表达式不变，则称 f ( x , y ) 对 x , y 具有轮换对称性. 对有轮换对称性的函数，若已经求得 ，则只要在 的表达式中将 换为 ，同时把 换为 即可得到 . 解 例 设 ， 求 函数的轮换对称性可推广到三元以上的函数 . 偏导数的定义 偏导数的计算、偏导数的几何意义 高阶偏导数 （偏增量比的极限） 纯偏导 混合偏导 （相等的条件） * * 一、偏导数的定义及其计算法 二、高阶偏导数 三、小结 第二节 偏导数 定义 回顾： 记为 注意: 记为 (1) 求关于 x 的偏导数，把 z=f (x , y) 中的 y 看成常数，对 x 仍用一元函数求导法求偏导. (2) 求关于 y 的偏导数，把 z=f (x , y) 中的 x 看成常数，对 y 仍用一元函数求导法求偏导. 回顾：基本导数公式 证 原结论成立． 例3 设 ， 求证 . 解 [法一] 先求偏导数再代入具体点. [法二]先固定 y=2 或 x=1 ，再对 x 或 y 求偏导数. 解法2: 例5 设 ， 求 求 的两种常用方法： [法一] 先求偏导数再代入具体点. [法二] 先将 但[法二]并不总是适用，如求 例6 已知理想气体的状态方程 （ 为常数），求证： . 证 (2) 求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求； 解 (3) 偏导数存在与连续的关系 但函数在该点处并不连续. 偏导数存在 一元函数中在某点可导 连续， 多元函数中在某点偏导数存在 连续， 连续. 多元函数中在某点连续 偏导数存在， 连续 偏导数存在 . 可见，二元函数在一点处偏导数存在和连续没有必然的联系. 偏导数 就是 曲面被平面 所 截得的曲线在点 处 的切线 对 轴的 斜率. 偏导数 就是 曲面被平面 所 截得的曲线在点 处 的切线 对 轴的 斜率. 二元函数偏导数的几何意义: 是曲线 在点 M0 处的切线 对 x 轴的斜率. 在点M0 处的切线 斜率. 是曲线 对 y 轴的 例7 求曲线 在点 处的 切线与 y 轴正向夹角. 解 设 z = f (x , y)在域 D 内存在连续的偏导数 若这两个偏导数仍存在偏导数， 则称它们的偏导数是z = f ( x , y )的二阶偏导数 . 按求导顺序不同, 有下列四个二阶偏导数: 纯偏导 混合偏导 例如，z = f (x , y) 关于 x 的三阶偏导数为 z = f (x , y) 先关于 x 的 n –1 阶偏导数 , 再关于 y 的一阶偏导数为: 类似可以定义更高阶的偏导数. 定义：二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数. 解 解 说明 因为初等函数的偏导数仍为初等函数，而初等函数在其定义区域内是连续的，故求初等函数的高阶导数可以选择方便的求导顺序. 定理可以推广，例如： 对三元函数 u = f (x , y , z) , 当三阶混合偏导数在点 (x , y , z) 连续时, 有