6.3偏导数资料.ppt

偏 导 数 我们已经知道一元函数的导数是一个很重要的概念，是研究函数的有力工具，它反映了该点处函数随自变量变化的快慢程度。对于多元函数同样需要讨论它的变化率问题。虽然多元函数的自变量不止一个，但实际问题常常要求在其它自变量不变的条件下，只考虑函数对其中一个自变量的变化率，因此这种变化率依然是一元函数的变化率问题，这就是偏导数概念，对此给出如下定义。 一、偏导数的定义及其计算法 偏导数的求法 由偏导数的定义可知，求二元函数的偏导数并不需要新的方法 求 时把 y 视为常数而对 x 求导 求 时把 x 视为常数而对 y 求导 这仍然是一元函数求导问题 如 在 处 偏导数的概念可以推广到二元以上函数 一般地 设 例1. 求函数 在点(1 , 3 )处的偏导数. 解 于是 例2. 求函数 的偏导数. 解 例3. 设 求证： 证 偏导函数的概念可以推广到二元以上的函数. 例如三元函数 f ( x , y, z ) 在点( x , y , z )处关于 x 的偏导数为: 类似地, 对多元函数求关于某一个自变量的偏导数时, 只需视其它变 说 明 根据一元函数的求导公式和求导法则，求导即可. 量为常数, 例4. 求三元函数 的偏导数. 解 例5.求函数 在点(0 , 0)处的偏导数. 解 二元函数在某一点处偏导数存在,但未必连续. 不存在, 而 从而 f (x , y) 在 (0 , 0)点不连续. 注意 偏导数的几何意义 如图 几何意义: 二、高阶偏导数 纯偏导 混合偏导 定义：二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数. 解 例2.设 求它的二阶偏导数及 定理6.3.1 若函数 的两个二阶混合偏导数 在区域D 内连续，则在该区域内 即二阶混合偏导数在连续的条件下与求导的顺序无关. 证 例3. 证明 满足方程 (拉普拉斯方程)