习题解答现控理论第2章.doc

2-7. 将以下系统输入输出方程变换为状态空间模型 (2) (3) 解 (1) 由所求的系统输入输出方程,有 a1=2, a2=6, a3=3, b=5 当选择输出y及其1阶、2阶导数为状态变量时,可得状态空间模型 (2) 先将方程变换成y的首项的系数为1,对方程两边除以2，得 由所求的系统输入输出方程,有 a1=0, a2=0, a3=-3/2, b0=1/2, b1=0, b2=0, b3=-1/2, 故由式(2-)可得 因此 时,可写出状态空间模型 (3) 由所求的系统输入输出方程,有 a1=4, a2=5, a3=2, b0=2, b1=1, b2=1, b3=2, 故由式(2-)可得 因此 时,可写出状态空间模型  2-8将下列传递函数转换为状态空间模型 (1) (2) (3) 解由系统特征多项式,可求得系统的极点为 s1=-1s2=-2, s3=-3 于是有 其中 故可得状态空间模型 (2) 对本题，先用长除法求出严格真有理函数如下 由系统特征多项式,可求得系统的极点为 s=-2, s2=-3 于是有 其中 故可得状态空间模型 (3) 由系统特征多项式,可求得系统的极点为 s=s2=-3, s3=-1 于是有 其中 故可得状态空间模型 2-9 试求题图2-9所示系统的模拟结构图,并建立其状态空间模型。 题图2-9 解： 系统方框图变换成： 则状态空间表达式中： , , 2-10 给定题图2-10所示的一个系统方框图,输入变量和输出变量分别为,试列出系统的一个状态空间模型。 题图2-10 解：首先,定出状态方程。对此,需将给定方块图化为图示规范方块图,并按图中所示把每个一阶环节的输出取为状态变量。进而,利用每个环节的因果关系,可以导出变换域变量关系式： 基此,可以导出变换域状态变量方程： 将上述关系式组取拉普拉斯反变换,并运用,就定义此方块图的状态变量方程： 再将上述方程组表为向量方程,得到此方块图的状态方程： 进而,定出输出方程。对此,由方块图中相应环节显示的因果关系,可直接导出此方块图的输出方程： 2-11已知系统的状态空间模型为 现用=Px进行状态变换,其变换矩阵 试写出状态变换后的状态方程和输出方程解线性变换=Px ，因此相应的各个矩阵的变换公式为 P的逆矩阵为 因此有 故系统在新的状态变量下的状态空间模型为 2-12 求下列各方阵A的特征值、特征向量和广义特征向量。 (1) (2) (3) (4) 解 (1) 由特征方程|λI-A|=0可求得系统的特征值为 λ1=1λ2=2 计算对应于λ1=1的特征向量。按定义有 (λ1I-A)v1=0 将A、λ1和v1代入上式,有 n-rank((1I-A)=1,即特征向量解空间为1维,其通解式为 令v11=1, 再计算对应于重特征值λ2= 2的特征向量。按定义有 (λ2I-A)v2=0 将A、λ2和v2代入上式,有 n-rank((2I-A)=1,该方程组有特征向量解空间为1维,其通解式为 因此,令v2=1,解之得 (2) 由特征方程|λI-A|=0可求得系统的特征值为 λ1=λ2=λ3=5 即为系统的二重特征值,其代数重数为2。 计算对应于二重特征值1的特征向量。按定义有 (λ1I-A)v1=0 将A、λ1和v1代入上式,有 n-rank((1I-A)=2,该方程组有特征向量解空间为2维,故特征向量解空间为2维,独立的特征向量数为2。解该方程,可得特征向量的通解式为 因此,令v1=1,v12=0或1,解之得 和 即重特征值2有两个线性独立的特征向量,故该重特征值的几何重数亦为2。计算对应于重特征值λ3=的特征向量。按定义有 (λI-A)v2=0 将A、λ和v代入上式,有 n-rank((1I-A)=1,即特征向量解空间为1维,其通解式为 令v1=1, 可得如下独立的特征向量 (4) 由特征方程|λI-A|=0可求得系统的特征值为 λ1=λ=1, λ3=2 由于矩阵为友矩阵，因此对应于λ1=λ2=1的特征向量和广义特征向量分别为 对应于λ3=2的特征向量和广义特征向量分别为 (4) 由特征方程|λI-A|=0可求得系统的特征值为 λ1=λ=λ3=-2 由于矩阵为友矩阵，因此对应于λ1=λ2=λ3=-2的特征向量和广义特征向量分别为 2-13 试将下列状态变换为 (2) 解 (1) 先求A的特征值。由特征方程|λI-A|=0可求得系统的特征值为 λ1=-1λ2=1, λ3=2 求特征值所对应的状态向量。由前述方法可求得特征值λ1,λ2,和λ3所对应的特征向量分别为 p1=[ 1 -1](