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例 设r.v X的分布函数为 (1) 求X取值在区间 (0.3,0.7)的概率 (2) 求X的概率密度 解: (1) P(0.3X0.7)=F(0.7)-F(0.3) =0.72-0.32=0.4 (2) f(x)= 注意到F(x)在1处导数不存在，根据改变被积函数在个别点处的值不影响积分结果的性质，可以在 没意义的点处，任意规定 的值。 练 设r.v X的分布函数为 (1) 求系数A、B (2) 求X的概率密度 (3)X落在 内的概率 解: 至此，我们已初步介绍了两类重要的随机变量: 离散型r.v和连续型r.v 而分布函数对它们给出了统一的描述方法 f (x) x o x P(x) o 对它们分别用概率函数和密度函数描述。 分布函数 离散型r.v的 分布函数 连续型r.v的 分布函数 分布函数 的性质 概率函数 与分布函数的关系 概率密度 与分布函数 的关系 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 由于连续型 r.v唯一被它的密度函数所确 定。所以，若已知密度函数，该连续型 r.v 的概率规律就得到了全面描述。 f (x) x o 2.5 常用连续随机变量的分布 （1）若 r.v X的概率密度为： 则称X服从区间( a, b)上的均匀分布，记作： X ～ U(a, b) 它的实际背景是： r.v X 取值在区间 [a, b] 上，并且取值在[a, b]中任意小区间 内的概率与这个小区间的长度成正比， 则 X 具有[a,b]上的均匀分布。 公交线路上两辆公共汽车前后通过某汽车停车站的时间，即乘客的候车时间等。 均匀分布常见于下列情形： 在数值计算中，由于四舍五入，最后一位数字所引起的误差； 例 电子表计时一般准确到0.01秒, 即以秒为时间的计量单位，则小数点后第二位数字是按四舍五入原则得到的，试求使用电子表计时产生的随机误差X的概率密度；并计算误差绝对值不超过0.002秒的概率。 解： 依题意， X ～ U ( -0.005, 0.005 ) 例 某公共汽车站从上午7时起，每15分钟来一班车，即 7:00，7:15，7:30, 7:45 时刻有汽车到达此站，如果乘客到达此站时间 X 是7:00 到 7:30 之间的均匀随机变量, 试求他候车时间少于5 分钟的概率。 解： 依题意， X ～ U ( 0, 30 ) 以7:00为起点0，以分为单位 为使候车时间X少于 5 分钟，乘客必须在 7:10 到 7:15 之间，或在7:25 到 7:30 之间到达车站。 所求概率为： 从上午7时起，每15分钟来一班车，即 7:00，7:15，7:30等时刻有汽车到达汽车站， 即乘客候车时间少于5 分钟的概率是1/3 则称 X 服从参数为 的指数分布 指数分布常用于可靠性研究中，如元件的寿命，或各种随机服务系统的服务时间等。 （2）若 r.v X具有概率密度 常简记为 X~e( ) 例 假定一个高危司机从年初开始到他发生事故所经过的天数T服从指数分布。某保险公司估计30%的高危司机会在50天内发生事故。问80天内发生事故的高危司机占多少比例？ 解： 例 电子元件的寿命X(年）服从参数为3的指数分布(1)求该电子元件寿命超过2年的概率。 (2)已知该电子元件已使用了1.5年，求它还能使用两年的概率为多少？ 解： 2.6 随机变量的分布函数 ———|—— x 一、定义： 设 X 是一个 r.v，称 为 X 的分布函数， 记作 X ～ F(x) 。 如果将 X 看作数轴上随机点的坐标，那么分布函数 F(x) 的值就表示 X落在区间 的概率。 问： 在上式中，X, x 皆为变量, 二者有什 么区别？ x 起什么作用？ F(x) 是不是概率？ X是随机变量, x是参变量 F(x) 是r.v X取值不大于 x 的概率 由定义，对任意实数 x1x2，随机点落 在区间（ x1 , x2 ] 的概率为： P( x1X x2 ) = P( X x2 ) – P( X x1 ) = F(x2)-F(x1) 因此，只要知道了随机变量X的分布函数， 它的统计特性就可以得到全面的描述。 分布函数是一个普通的函数， 同时又具有良好的性质，正是通过它， 我们可以用数学分析的工具来 研究随机变量。 二、分布函数的性质 (1)