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信号与系统课后习题答案—第1章
第1章 习题答案
1-1 题1-1图所示信号中,哪些是连续信号?哪些是离散信号?哪些是周期信号?哪些是非周期信号?哪些是有始信号?
解: ① 连续信号:图(a)、(c)、(d); ② 离散信号:图(b); ③ 周期信号:图(d);
④ 非周期信号:图(a)、(b)、(c); ⑤有始信号:图(a)、(b)、(c)。
1-2 已知某系统的输入f(t)与输出y(t)的关系为y(t)=|f(t)|,试判定该系统是否为线性时不变系统。
解: 设T为此系统的运算子,由已知条件可知: y(t)=T[f(t)]=|f(t)|,以下分别判定此系统的线性和时不变性。
① 线性
1)可加性
不失一般性,设f(t)=f1(t)+f2(t),则
y1(t)=T[f1(t)]=|f1(t)|,y2(t)=T[f2(t)]=|f2(t)|,y(t)=T[f(t)]=T[f1(t)+f2(t)]=|f1(t)+f2(t)|,而
|f1(t)|+|f2(t)|≠|f1(t)+f2(t)|
即在f1(t)→y1(t)、f2(t)→y2(t)前提下,不存在f1(t)+f2(t)→y1(t)+y2(t),因此系统不具备可加性。
由此,即足以判定此系统为一非线性系统,而不需在判定系统是否具备齐次性特性。
2)齐次性
由已知条件,y(t)=T[f(t)]=|f(t)|,则T[af(t)]=|af(t)|≠a|f(t)|=ay(t) (其中a为任一常数)
即在f(t)→y(t)前提下,不存在af(t)→ay(t),此系统不具备齐次性,由此亦可判定此系统为一非线性系统。
② 时不变特性
由已知条件y(t)=T[f(t)]=|f(t)|,则y(t-t0)=T[f(t-t0)]=|f(t-t0)|,
即由f(t)→y(t),可推出f(t-t0)→y(t-t0),因此,此系统具备时不变特性。
依据上述①、②两点,可判定此系统为一非线性时不变系统。
1-3 判定下列方程所表示系统的性质:
解:(a)① 线性
1)可加性
由 可得 则
即在,因此系统具备可加性。
2)齐次性
由即,设a为任一常数,可得
即,因此,此系统亦具备齐次性。
由上述1)、2)两点,可判定此系统为一线性系统。
② 时不变性
具体表现为:
将方程中得f(t)换成f(t-t0)、y(t)换成y(t-t0)(t0为大于0的常数),
即
设,则,因此
也可写成,
只有f(t)在t=0时接入系统,才存在,当f(t)在t≠0时接入系统,
不存在,因此,此系统为一时变系统。
依据上述①、②,可判定此系统为一线性时变系统。
(b)① 线性
1)可加性
在由规定的对应关系的前提下,可得
即由,系统满足可加性。
2)齐次性
由,即,两边同时乘以常数a,有
即,因此,系统具备齐次性。
由1)、2)可判定此系统为一线性系统。
② 时不变性
分别将(t0为大于0的常数)代入方程
左右两边,则
左边=
而
所以,右边==左边,故系统具备时不变特性。
依据上述①、②,可判定此系统为一线性时不变系统。
(c)① 线性
1)可加性
在由式规定的对应关系的前提下,可得
即在的前提下,有式存在,即系统满足可加性。
2)齐次性
由,即,两边同时乘以常数a,有
,
即有 ,因此,系统具备齐次性。
依据上述1)、2),此系统为一线性系统。
② 时不变性
分别将 (t0为大于0的常数)代入方程 左右两边,则
因此,系统是时变的。
依据上述①、②,可判定此系统为一线性时变系统。
(d)① 线性
1)可加性
在由式规定的对应关系的前提下,可得
而不是:
即在的前提下,并不存在
因此系统不满足可加性,进而系统不具备线性特性。(下面的齐次性判定过程可省略)
2)齐次性
由,即,两边同时乘以常数a,有
,即式不成立,不存在
因此,系统也不具备齐次性。
单独此结论,也可判定此系统为一非线性系统。
② 时不变性
分别将 (t0为大于0的常数)代入方程 左右两边,则
即以式规定的关系为前提,存在
因此,系统是非时变的。
依据上述①、②,可判定此系统为一线性时不变系统。
1-4 试证明方
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