2013年二次函数中考试题汇编_全集及答案.doc

二次函数中考试题及答案 （2013? 德州）如图，在直角坐标系中有一直角三角形AOB，O为坐标原点，OA=1，tan∠BAO=3，将此三角形绕原点O逆时针旋转90°，得到△DOC，抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B、C． （1）求抛物线的解析式； （2）若点P是第二象限内抛物线上的动点，其坐标为t， ①设抛物线对称轴l与x轴交于一点E，连接PE，交CD于F，求出当△CEF与△COD相似点P的坐标； ②是否存在一点P，使△PCD得面积最大？若存在，求出△PCD的面积的最大值；若不存在，请说明理由． 考点： 二次函数综合题． 分析： （1）先求出A、B、C的坐标，再运用待定系数法就可以直接求出二次函数的解析式； （2）①由（1）的解析式可以求出抛物线的对称轴，分类讨论当∠CEF=90°时，当∠CFE=90°时，根据相似三角形的性质就可以求出P点的坐标； ②先运用待定系数法求出直线CD的解析式，设PM与CD的交点为N，根据CD的解析式表示出点N的坐标，再根据S△PCD=S△PCN+S△PDN就可以表示出三角形PCD的面积，运用顶点式就可以求出结论． 解答： 解：（1）在Rt△AOB中，OA=1，tan∠BAO==3， ∴OB=3OA=3． ∵△DOC是由△AOB绕点O逆时针旋转90°而得到的， ∴△DOC≌△AOB， ∴OC=OB=3，OD=OA=1， ∴A、B、C的坐标分别为（1，0），（0，3）（﹣3，0）． 代入解析式为 ， 解得：． ∴抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+3； （2）①∵抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+3， ∴对称轴l=﹣=﹣1， ∴E点的坐标为（﹣1，0）． 如图，当∠CEF=90°时，△CEF∽△COD．此时点P在对称轴上，即点P为抛物线的顶点，P（﹣1，4）； 当∠CFE=90°时，△CFE∽△COD，过点P作PM⊥x轴于点M，则△EFC∽△EMP． ∴， ∴MP=3EM． ∵P的横坐标为t， ∴P（t，﹣t2﹣2t+3）． ∵P在二象限， ∴PM=﹣t2﹣2t+3，EM=﹣1﹣t， ∴﹣t2﹣2t+3=3（﹣1﹣t）， 解得：t1=﹣2，t2=﹣3（与C重合，舍去）， ∴t=﹣2时，y=﹣（﹣2）2﹣2×（﹣2）+3=3． ∴P（﹣2，3）． ∴当△CEF与△COD相似时，P点的坐标为：（﹣1，4）或（﹣2，3）； ②设直线CD的解析式为y=kx+b，由题意，得 ， 解得：， ∴直线CD的解析式为：y=x+1． 设PM与CD的交点为N，则点N的坐标为（t， t+1）， ∴NM=t+1． ∴PN=PM﹣NM=t2﹣2t+3﹣（t+1）=﹣t2﹣+2． ∵S△PCD=S△PCN+S△PDN， ∴S△PCD=PM?CM+PN?OM =PN（CM+OM） =PN?OC =×3（﹣t2﹣+2） =﹣（t+）2+， ∴当t=﹣时，S△PCD的最大值为． 点评： 本题考查了相似三角形的判定及性质的运用，待定系数法求函数的解析式的运用，三角形的面积公式的运用，二次函数的顶点式的运用，解答本题时，先求出二次函数的解析式是关键，用函数关系式表示出△PCD的面积由顶点式求最大值是难点． 　（2013?衡阳）如图，已知抛物线经过A（1，0），B（0，3）两点，对称轴是x=﹣1． （1）求抛物线对应的函数关系式； （2）动点Q从点O出发，以每秒1个单位长度的速度在线段OA上运动，同时动点M从M从O点出发以每秒3个单位长度的速度在线段OB上运动，过点Q作x轴的垂线交线段AB于点N，交抛物线于点P，设运动的时间为t秒． ①当t为何值时，四边形OMPQ为矩形； ②△AON能否为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由． 考点： 二次函数综合题 分析： （1）利用顶点式、待定系数法求出抛物线的解析式； （2）①当四边形OMPQ为矩形时，满足条件OM=PQ，据此列一元二次方程求解； ②△AON为等腰三角形时，可能存在三种情形，需要分类讨论，逐一计算． 解答： 解：（1）根据题意，设抛物线的解析式为：y=a（x+1）2+k， ∵点A（1，0），B（0，3）在抛物线上， ∴， 解得：a=﹣1，k=4， ∴抛物线的解析式为：y=﹣（x+1）2+4． （2）①∵四边形OMPQ为矩形， ∴OM=PQ，即3t=﹣（t+1）2+4， 整理得：t2+5t﹣3=0， 解得t=，由于t=＜0，故舍去， ∴当t=秒时，四边形OMPQ为矩形； ②Rt△AOB中，OA=1，OB=3，∴tanA=3． 若△AON为等腰三角形，有三种情况： （I）若ON=AN，如答图1所示： 过点N作ND⊥OA于点D，则D为OA中点，OD=OA=， ∴t=； （II）若ON=OA，如答图2所示： 过点N作ND⊥OA于点D，设AD=x，则ND=AD?tanA