概率论第四章随机变量的数字特征资料.ppt

第四章 随机变量的数字特征 数学期望 方差 协方差和相关系数与矩 4.1数学期望一、离散型随机变量的数学期望 二、连续型随机变量的数学期望 三、随机变量函数的数学期望 4.2 方差 二、方差的性质 三、常见分布的差 2、Poisson分布 3、均匀分布 4、指数分布 5、二项分布X~B(n,p) 6、正态分布 2、协方差的性质 三 矩、协方差矩阵 X~U[a, b] 分布律为P(X=k)=Cnkpkqn-k，(p+q=1)，k=0,1,2,…,n 其中 随机变量函数的数学期望 在计算时，若将X表示成若干个相互独立的0—1分布变量之和，计算就极为简便。 在n重Bernoulli试验中，A发生的概率为p，不发生的概率为q=1-p。设 则A发生的次数 X~B(n,p) N(μ,σ2)中两个参数μ和σ2 ，分别是正态分布中的数学期望和均方差。 练习 1、设随机变量X??N(0,1)，Y?U(0,1)，Z?B(5,0.5),且X，Y，Z独立，求随机变量U=(2X+3Y)(4Z-1)的数学期望 2、 设随机变量X1, X2,…,Xn相互独立，且均服从 N(μ,σ2)分布，求随机变量 的数学期望 答: 答: 3、长途汽车起点站于每时的10分、25分、55分发车，设乘客不知发车时间，于每小时的任意时刻随机地到达车站，求乘客的平均候车时间。 解 设乘客于某时X分到达车站,候车时间为Y,则 =10分25秒 4、设X服从N(0，1)分布，求E(X2),E(X3),E(X4) 思考： 1.请给出一个离散型随机变量X和一个连续型随机变量Y，使它们的期望都是2，方差都是1。 2.已知随机变量X1,X2,…,Xn相互独立，且每个Xi的期望都是0，方差都是1，令Y= X1+X2+…+Xn ，求E（Y2） 复习——方差 1.方差定义 设X是随机变量，若E{[X-E(X)]2}存在，则称E{[X- E(X)] 2}为随机变量X的方差，记为D(X)或Var(X)，即 D(X)=E{[X-EX]2} 4.3 协方差，相关系数与距 2.方差的性质 1）、设C是常数，则D(C)=0，且D(X+C)=D(X); 2）、设C是常数，X为随机变量，则D(CX)=C2D(X); 3）、设X,Y为任意两个随机变量，则有 D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}; 特别地，当X,Y相互独立时，D(X±Y)=D(X)+D(Y) 4）、D(X)=0的充分必要条件是X以概率1为常数，即(X=C)=1 定义 设(X,Y)是二维随机变量，如果 E{[X?E(X)][Y?E(Y)]} 存在, 则称它是X与Y的协方差，记为Cov(X,Y) 即 Cov(X,Y)= E{[X?E(X)][Y?E(Y)]}。 并称 一、协方差与相关系数 1、概念 为X与Y的相关系数，或称X与Y的标准协方差。 ρXY是一个无量纲的量。 当X与Y是离散型随机变量时，分布律P(X=xi,Y=yj)=pij 当X与Y是连续型随机变量时，密度函数f(x,y) 由协方差定义可得，对任意的随机变量X、Y，有 Cov(X,Y)= E{[X?E(X)][Y?E(Y)]}= E(XY)?E(X)E(Y) ——协方差的一个计算公式。 又有 D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y) D(X-Y)=D(X)+D(Y)-2Cov(X,Y) 例4.15 设二维随机变量(X,Y)的联合分布律为 p 0 1 0 q 0 1 0 Y X 其中p+q=1，求相关系数ρXY 。 解 由题意可得X,Y的边缘分布律为 p q P 1 0 X p q P 1 0 Y 均为0—1分布,E(X) =p ,D(X)=pq,E(Y)=p,D(Y)=pq， E(XY) =0×0×q+0×1×0+1×0×0+1×1×p =p 所以Cov(X,Y)=E(XY)?E(X)E(Y) =p?p2=pq 因此 例4.16 设二维随机变量(X,Y)的密度函数为 求Cov(X,Y) 解 同理 Cov(X,Y)=E(XY)?E(X)E(Y)=0 (1) Cov(X,Y)=Cov(Y,X); (2) Cov(X,X)=D(X)，Cov(X,C)=0； (3) Cov(aX,bY)=abCov(X,Y)，其中a,b为常数； (4) Cov(X+Y,Z)=Cov(X,Z)+Cov(Y,Z)； 例4.1 甲、乙两射手进行射击训练，已知在100次射击中命中环数与次数记录如下： 60 10 30 次数 10 9 8 环数 30 50 20 次数