概率论与数理统计课件第十五讲资料.ppt

第六章 样本与统计量 样本 k 阶原点矩 样本 k 阶中心矩 k=1,2, … 反映总体 k 阶矩的信息 反映总体k 阶 中心矩的信息 6.3.2 抽样分布 统计量既然依赖于样本，而后者又是随机变量，故统计量也是随机变量，有一定的分布，这个分布称为统计量的抽样分布。 定理1：设 X1,X2,?,Xn是来自均值为? ,方差为 ?2 的总体的样本，则当 n 充分大时, 近似地有 抽样分布定理 证明：因X1,X2,…,Xn是来自均值为? ，方差为?2 的总体的样本。故 X1,X2,…,Xn 独立同分布, 且 E(X)=?，Var(X)=?2, i=1,2,…,n。 据中心极限定理，有 对充分大的 n，近似地有 ● 样本均值分布函数的近似计算 定理应用 总有 ● 样本均值与 ? 的偏差在一定范围内的概率的 近似计算 从上式可以看出：对给定的?2和给定的 c0， 当样本大小 n 增大时，上面的概率也随之增大；n 趋于无穷时，上式趋近于 1。 任给c 0，总有 例1：用机器向瓶子里灌装液体洗涤剂，规定每瓶装 ? 毫升。但实际灌装量总有一定波动。假定灌装量的方差 ?2=1，如果每箱装这样的洗涤剂 25 瓶。求这 25 瓶洗净剂的平均灌装量与标定值 ? 相差不超过0.3毫升的概率；又如果每箱装50瓶时呢? 解：记一箱中 25 瓶洗净剂灌装量为 X1,X2,?, X25 是来自均值为? , 方差为1的总体的随机样本。根据抽样分布定理1，近似地有 当 n=50时，同样可算出： 小结 本讲首先介绍了样本与统计量的基本概念，包括：总体、个体、样本、总体分布与样本分布；然后介绍了统计量的概念和几个常见的统计量：样本均值、方差、标准差、 k 阶原点矩和k 阶中心矩；最后介绍了抽样分布的概念与抽样分布定理。 概率论与数理统计 第十六讲 主讲教师：郭念国 河南工业大学理学院 §6.4 正态总体 6.4.1 χ 2 分布 它是由正态分布派生出来的一种分布。 定义1: 设 X1, X2, …, Xn 相互独立，且均服从正态分布 N(0, 1), 则称随机变量 服从自由度为 n 的卡方分布，记成 。 分布的密度函数为 由 分布的定义，不难得到其如下性质： 进一步，由中心极限定理可以推出, n 充 分大时, 近似于标准正态分布 N(0,1)。 分布密度函数图形 χn2 分布上? 分位点有表可查，见附表4。 对于给定的 ??(0,1), 称满足条件 的点 χn2(?)为 χn2分布的上(右)? 分位点。 分布分位点 t 分布的概率密度为 为服从自由度 n 的 t 分布，记为 T ～ tn。 6.4.2 t 分布 定义2: 设 X ～N(0, 1) , Y ～χn2 , 且 X与Y 相互独立，则称随机变量 t 分布的概率密度图形 当 n 充分大时，f (x; n) 趋近于标准正态分布的概率密度。 数学期望与方差 若 T ～tn , 对给定的? ?(0,1)，称满足条件 t 分布的分位点 的点 tn(?)为 tn 分布上? 分位点。 t 分布的上? 分位点有表可查，见附表3。 tn 分布上? 分位点示意图 6.4.3 F 分布 则称 F =(X/m)/(Y/n)服从第一自由度为m，第二自由度为n 的 F 分布。记成 F ~ Fm ,n 。 定义3： F 分布的概率密度为 若 F～Fm, n，对给定的? ?(0,1), 称满足条件 F 分布的分位点 的点 Fm,n(?)为F分布的上? 分位点。. F 分布上? 分位点有表可查，见附表5。 F 分布上? 分位点示意图 ★ 一个需要注意的问题: 这个关系式的证明如下： 证明：若 X ~ Fm,n，则 Y = X -1 ~ Fn,m。 依分位点定义， 上式等价于 再根据 Y (~ Fn,m ) 的上? 分位点定义，有 这就证明了(1)式。 在通常 F 分布表中，只对? 比较小的值,如? = 0.01, 0.05, 0.025及0.1等列出了分位点。但有时我们也需要知道? 比较大的分位点， 它们在 F 分布表中查不到。这时我们就可利用分位点的关系式(1)把它们计算出来。 例如：对m=12, n=9, α=0.95, 我们在 F 分布表中查不到 F12,9(0.95)，但由(1)式，知 可从F 分布 表中查到 ★ 还有一个重要结果: 若X ~ tn , 则X2 ~ F1,n。 请同学们自己证明。 定理 1：