郭硕鸿《电动力学》习题解答完全版(章)分析报告.doc

电动力学习题解答 第一章 电磁现象的普遍规律 1. 根据算符?的微分性与矢量性 推导下列公式 ?(Ar ? Br) = Br × (?× Ar) + (Br ??)Ar + Ar × (?× Br) + (Ar ??)Br Ar × (?× Ar) = 1 ?Ar 2 ? (Ar ??)Ar 2 解 1 ?(Av ? Bv) = Bv × (?× Av) + (Bv ??)Av + Av × (?× Bv) + (Av ??)Bv 首先 算符?是一个微分算符 其具有对其后所有表达式起微分的作用 对于本题 ?将作用于 Av和Bv 又?是一个矢量算符 具有矢量的所有性质 因此 利用公式 cv× (av×bv) = av ?(cv ?bv) ? (cv ?av)bv 可得上式 其中右边前两项是 ?作用于 v v A 后两项是?作用于 B v v 2 根据第一个公式 令 A B可得证 2. 设 u是空间坐标 x y z的函数 证明 ?f (u) = df ?u du ?? Ar(u) = ?u ? dAr du r ?× Ar(u) = ?u× . dA du 证明 1 ?f (u) = ?f (u) erx + ?f (u) ery + ?f (u) erz = df du ?x ? ex + r df ?u ery + df ?ur ? ? ez = df ?u ?u ?x ?y ?z du ?y du ?z du 2 ?Ary (u) ?y dAry (u) du ?Arx (u) + ?x + ?Arzz(u) = dArx (u) ? ?u + ? ?u + dArz (u) ? ?u r ?z = ?u ? du ?? Ar(u) = dA ?z du ?x ?y dz 3 r r r e z ? e e ?Ary )erx + (?Ar ? ?z ?Ar ?Arx )erz = ?y r r x y ?× Ar(u) = = (? x ? ? )ey + ( y ? ?x ? ? A A r z z ?x ?y Ay (u) Az (u) ?z ?y ?z ?x r r r A x(u) - 1 -  电动力学习题解答 第一章 电磁现象的普遍规律 = (dArz ? dAry ?u r dArx ?u ? dA r r u ? dA u r dAr )ey + (dA u ? du ?z )ex + ( ?u r ? ? r x y z du ?x du ?y )ez = ?u× du du ?y du ?z du ?x 3. 设r = (x ? x ) 2 + (y ? y ) 2 + (z ? z ) 2 为源点 x 到场点 x 的距离 r 的方向规定为从 源点指向场点 r ? + er ? + er ? 1 证明下列结果 并体会对源变数求微商 (? = e ?z )与对场变数求 z x ?x y ?y 微商(? = erx ? r ? r ? + ez ?z)的关系 ?x + ey ?y r r r r r r 1 r 1 r r r r r ?r = ??r = ,? = ?? = ? ,?× r 3 = 0,?? r = ?? 3 = 0.(r ≠ 0) r r 3 3 r (最后一式在人 r 0点不成立 见第二章第五节) 2 求 ??rr,?×rr,(ar ??)rr,?(ar ?rr),??[Er0 sin(kr ?rr)]及?×[Er0 sin(kr ?rr)],其中ar,kr及Er0均为常矢量 证明 ??rr = ?(x ? x ?x ) + ?(y ? y ?y ) + ?(z ? z ) = 3 ?z r r r e e e x y z ?×rr = ? ? ? = 0 ?x x ? x ?y y ? y ?z z ? z ? v (av ??)rr = [(axevx + a yevy + azevz ) ? ( ex + ??y evy + ??z evz )][(x ? x)evx + (y ? y)ery + (z ? z)evz ] ?x = (ax ? + ay ? + az )[(x ? x)evx + (y ? y)ery + (z ? z)evz ] ? ?x ?y ?z =