大工13秋《工力学》(二)辅导资料八.docVIP

工程力学（二）辅导资料八 主 题：第三章 结构力学知识回顾（第3节） 学习时间：2013年11月18日－11月24日 内 容： 本周我们学习结构在荷载作用下的位移计算，希望通过下面的学习使同学们掌握图乘法计算梁和刚架的位移，理解功的互等定理、位移互等定理和反力互等定理。 基本要求与重点： 了解位移和功的概念； 掌握利用图乘法计算梁、刚架的位移； 理解结构位移计算的一般公式以及各种不同结构的计算公式； 理解各种弯矩图的叠加并能根据叠加进行图乘； 理解功的互等定理、位移互等定理、反力互等定理。 一、概述 结构在荷载作用下，会产生应力和应变，以致结构原有的形状会发生变化（简称变形），其上各点的位置将会移动，杆件的横截面也将发生转动。这些移动和转动统称为位移。 位移：线位移（水平位移，竖向位移）、角位移（转角） 图1 位移示意图 结构在其他因素（例如温度改变、支座位移、材料收缩和制造误差等）影响下，虽不一定都发生应力和应变，但却会使结构改变原来的位置而产生位移。 图2 温度及支座位移示意图 二、外力在弹性体位移上作的功 （一）外力的实功 力在本身所引起的位移上作的功称为实功（如图a所示），外力的实功等于图下方的面积（如图b所示） （a） （b） （二）外力的虚功 （b） 所谓虚功是指力在与它无关系的位移上做的功，也就是说，在计算虚功中的力与位移是无关的。 （三）广义位移和广义力 1.广义位移 以上线位移、角位移以及相对位移等统称为广义位移。 2.广义力 广义力与广义位移相对应，包括集中力、集中力偶、一对等值反向力（力偶） （四）虚功的计算 一个力系作的总虚功 W=∑P×( P---广义力；(---广义位移 （1）作虚功的力系为一个集中力 （2）作虚功的力系为一个集中力偶 （3）作虚功的力系为两个等值反向的集中力偶 （4）作虚功的力系为两个等值反向的集中力 三、荷载作用下的位移计算公式 从虚功方程入手，讨论杆系结构位移计算的一般公式。杆系结构虚功方程为： 设待求的实际广义位移为Δ，与Δ对应的广义力为P。 设仅在广义力P=1作用下，任意横截面上与之对应的轴力、剪力和弯矩分别为、和。 又设与内力、和对应的微段实际变形分别为、和。 杆系结构虚功方程为： 杆系结构虚功方程改写为： 仅在荷载作用时的位移计算一般公式 对于由线弹性直杆组成的结构，有： 上述公式只适用于线弹性结构。 内力的正负号规定如下： 轴力以拉力为正； 剪力使微段顺时针转动者为正； 弯矩只规定乘积的正负号。使杆件同侧纤维受拉时，其乘积取为正。 一般来说，剪切变形影响很小，通常忽略不计。 1、对梁和刚架： 2、 对桁架： 3、对组合结构： 四、图乘法 下面介绍梁和刚架在荷载作用下计算位移的图乘法。 1.图乘法的推证 图乘法求位移公式为： 2.公式应用注意事项： （1）图乘法的应用条件： ①等截面直杆，EI为常数； ②两个M图中应有一个是直线； ③应取自直线图中。 （2）若与在杆件的同侧，取正值；反之，取负值。 （3）∑表示对各杆和各杆段分别图乘再相加。 （4）图乘时注意应用图乘技巧 复杂图形，可分解为简单图形图乘，如：①直线形乘直线形，②非标准抛物线乘直线形，③阶梯形截面杆。 （5）绘制变形图时，应根据弯矩图判断杆件的凹凸方向，注意反弯点的利用。 五、线弹性体系的互等定理 1.功的互等定理 在任一线性变形体系中，第一状态外力在第二状态位移上所做的功等于第二状态外力在第一状态位移上所做的功，即 2.位移互等定理 在任一线性变形体系中，由荷载引起的与荷载相应的位移影响系数等于由荷载引起的与荷载相应的位移影响系数。 3.反力互等定理 在任一线性变形体系中，由位移引起的与位移相应的反力影响系数等于由位移引起的与位移相应的反力影响系数。 附：相关习题 1.图（a）所示简支梁受集中荷载作用，试求梁两端截面、的相对转角。 （a） 解 由图（a）中可见，相对转角。因此，虚设力系时，在截面、处施加一对反向单位力偶，图和图分别如图（b）和图（c）所示。 （c） 内力表达式如下： 虚设单位荷载作用下， 相对转角为 求得结果为正值，表明相对转角的方向与所设的一对单位力偶方向相同。 2.已知静定刚架在外力作用下的弯矩图如下图所示，各杆刚度均为EI，用图乘法求CD中点E的竖向位移大小为多少？ 解题思路：静定结构，在外力作用下进行位移计算时图乘法公式为 对于静定刚架，位移计算考虑的是弯矩的图形相乘。故应该先做出所求位移在单位力作用下的弯矩图。然后利用图形相乘法得出位移的结果。 解：先绘制E点在单位力作用下的弯矩图。 已知弯矩图 两弯矩图图乘：（AC,BD段在左